Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

---

Wyznaczamy pole podstawy ostrosłupa (pole sześciokąta foremnego o boku długości a):

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$  

---

Ścianami bocznymi ostrosłupa jest sześć trójkątów równoramiennych o podstawie długości a i wysokości h, czyli 

$P_b=6\cdot \frac{a\cdot h}{2}=3ah$  

---

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem mamy 

$P_b=3\cdot P_p$  

$3ah=3\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\mid :3a$  

$h=\frac{a\cdot 3\sqrt{3}}{2}$  

---

Rozważmy trójkąt prostokątny OKS. 

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć trójkątów równobocznych. Zatem długość odcinka x jest równa wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, czyli 

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

$\cos \alpha =\frac{x}{h}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\cdot 3\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}$