a)

Podstawą narysowanego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku a. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej d podstawy ostrosłupa

$d^2=a^2+a^2$

$d^2=2a^2\text{i}d>0$  

więc

$d=a\sqrt{2}$  

c.n.d.

---

b)

Każda ze ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego jest przystającym trójkątem równoramiennym, skąd dostajemy, że wysokość h ściany bocznej (poprowadzona na podstawę) tworzy z połową krawędzi podstawy i krawędzią boczną b ostrosłupa trójkąt prostokątny. 

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa zachodzi 

$h^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=b^2$  

c.n.d.

---

c)

Punkt przecięcia przekątnych podstawy jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. 

Zatem połowa przekątnej podstawy, tworzy z wysokością H ostrosłupa i krawędzią boczną b ostrosłupa trójkąt prostokątny. 

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa zachodzi 

$H^2+{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2=b^2$  

c.n.d.

---

d)

Spodek wysokości ściany bocznej jest środkiem krawędzi podstawy, czyli odległość między spodkiem wysokości ściany bocznej i spodkiem wysokości ostrosłupa (punktem przecięcia przekątnych podstawy) jest równa połowie długości krawędzi podstawy. 

Otrzymujemy więc, że wysokość H ostrosłupa, tworzy z połową krawędzi podstawy i wysokością h ściany bocznej trójkąt prostokątny. 

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa zachodzi 

$H^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=h^2$  

c.n.d.

---

e)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Rozważmy trójkąt AKS. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

$\sin \alpha =\frac{h}{b}$  

Rozważmy trójkąt BCL. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

$\sin \beta =\frac{x}{a}$  

Każda ze ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego jest przystającym trójkątem równoramiennym, zatem

$\alpha =\beta$

skąd mamy 

$\sin \alpha =\sin \beta$  

$\frac{h}{b}=\frac{x}{a}$

c.n.d.