Przypomnijmy, że środek symetrii rombu jest punktem przecięcia jego przekątnych. 

Poniżej rysunek pomocniczy 

---

a)

Oznaczmy współrzędne punktu C jako

$C=\left(x_C,y_C\right)$  

Punkt S jest środkiem przekątnej AC, korzystając ze wzoru na środek odcinka dostajemy

$\left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{-3+y_C}{2}\right)=\left(1,1\right)$  

z równości punktów dostajemy 

$\frac{-2+x_C}{2}=1\wedge \frac{-3+y_C}{2}=1$  

$-2+x_C=2-3+y_C=2$  

$x_C=4y_C=5$  

czyli 

$C=\left(4,5\right)$  

 

Wyznaczamy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AS}$  

$\overrightarrow{AS}=\left[1-\left(-2\right),1-\left(-3\right)\right]=\left[3,4\right]$  

prosta BD jest prostopadła do wektora [3, 4], czyli jest postaci 

$BD:3x+4y+c=0$   

Dodatkowo wiadomo, że punkt S=(1,1) leży na tej prostej, zatem mamy 

$3\cdot 1+4\cdot 1+c=0\Rightarrow c=-7$  

czyli prosta BD jest dana równaniem 

$3x+4y-7=0$  

 

Wierzchołek B rombu ABCD jest punktem przecięcia prostych AB i BD. 

Współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując poniższy układ równań:

$\{\begin{array}{l}3x+4y-7=0\\ x-2y-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x+4y-7=0\\ x=2y+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3\cdot \left(2y+4\right)+4y-7=0\\ x=2y+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6y+12+4y-7=0\\ x=2y+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10y=-5\mid :10\\ x=2y+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\\ x=3\end{array}$  

czyli 

$B=\left(3,-\frac{1}{2}\right)$  

 

Współrzędne punktu D oznaczmy jako 

$D=\left(x_D,y_D\right)$  

Punkt S jest środkiem przekątnej BD, korzystając ze wzoru na środek odcinka dostajemy 

$\left(\frac{3+x_D}{2},\frac{-\frac{1}{2}+y_D}{2}\right)=\left(1,1\right)$  

z równości punktów dostajemy 

$\frac{3+x_D}{2}=1\wedge \frac{-\frac{1}{2}+y_D}{2}=1$  

$3+x_D=2-\frac{1}{2}+y_D=2$  

$x_D=-1y_D=\frac{5}{2}$  

czyli 

$D=\left(-1,\frac{5}{2}\right)$  

 

Odp. Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne (3,-¹/₂), (4,5), (1,⁵/₂).

---

b)

Zauważmy, że punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w romb ABCD, a promień r tego okręgu jest równy odległości punktu S od dowolnej prostej zawierającej bok rombu. 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej obliczamy odległość punktu S=(1,1) od prostej AB: x-2y-4=0 i otrzymujemy

$r=\frac{\left|1-2\cdot 1-4\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|-5\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$  

 

Odp. Równanie okręgu wpisanego w ten romb to: (x-1)²+(y-1)²=5.