Oznaczmy przez S środek szukanego okręgu. 

Przekształcamy równanie stycznej x-2y-1=0 do postaci kierunkowej i otrzymujemy 

$x-2y-1=0\mid +2y$  

$x-1=2y\mid :2$  

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=y$  

Prosta AS jest prostopadła do prostej stycznej. 

Korzystając z warunku na prostopadłość prostych wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AS:

$a\cdot \frac{1}{2}=-1\Rightarrow a=-2$  

czyli prosta AS jest postaci 

$y=-2x+b$  

Wiadomo, że do wykresu prostej AS należy punkt A=(3,1), zatem mamy 

$1=-2\cdot 3+b\Rightarrow b=7$  

więc

$AS:y=-2x+7$  

Środek S szukanego okręgu leży na prostej AS czyli jego współrzędne możemy zapisać jako:

$S=\left(x,-2x+7\right)$   

Korzystając ze wzoru na długość odcinka dostajemy 

$\left|AS\right|=\sqrt{5}$  

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(-2x+7-1\right)}^2}=\sqrt{5}\mid {}^2$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(6-2x\right)}^2=5$  

$x^2-6x+9+36-24x+4x^2=5$  

$5x^2-30x+40=0\mid :5$  

$x^2-6x+8=0$  

$\Delta =36-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$  

$\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{6-2}{2}=2$  

$x_2=\frac{6+2}{2}=4$  

Zatem 

• dla x = 2 mamy 

$S=\left(x,-2x+7\right)=\left(2,3\right)$   

czyli szukane równanie okręgu jest postaci 

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5$  

• dla x = 4 mamy 

$S=\left(x,-2x+7\right)=\left(4,-1\right)$  

czyli szukane równanie okręgu jest postaci 

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=5$  

Odp. Szukane równanie okręgu to:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5\text{lub}{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=5$