Dane są punkty A=(1,3), B=(3,7) i C=(5,8). 

---

a)

$\overrightarrow{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right]=\left[3-1,7-3\right]=\left[2,4\right]$  

$\overrightarrow{BA}=\left[x_A-x_B,y_A-y_B\right]=\left[1-3,3-7\right]=\left[-2,-4\right]$  

---

b)

$\text{|}\overrightarrow{AB}\text{|}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

---

c)

Niech

$D=\left(x_D,y_D\right)$  

Wówczas mamy 

$\overrightarrow{CD}=\left[x_D-x_C,y_D-y_C\right]=\left[x_D-5,y_D-8\right]$  

Chcemy żeby spełniona była równość

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  

$\left[2,4\right]=\left[x_D-5,y_D-8\right]$  

z równości wektorów dostajemy 

$2=x_D-5\wedge 4=y_D-8$  

$x_D=7y_D=12$  

czyli 

$D=\left(7,12\right)$  

---

d) 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka obliczamy współrzędne środka S odcinka AB i dostajemy 

$S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{3+7}{2}\right)=\left(\frac{4}{2},\frac{10}{2}\right)=\left(2,5\right)$  

---

e)

Niech

$K=\left(x_K,y_K\right)$  

Chcemy żeby punkt B=(3,7) był środkiem odcinka AK. 

Korzystając ze wzoru na środek odcinka dostajemy 

$\left(3,7\right)=\left(\frac{1+x_K}{2},\frac{3+y_K}{2}\right)$  

z równości punktów dostajemy

$3=\frac{1+x_K}{2}\wedge 7=\frac{3+y_K}{2}$  

$x_K=5y_K=11$  

więc

$K=\left(5,11\right)$  

---

f)

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do danego odcinka przechodzącą przez jego środek. 

Przypomnijmy, że dla dowolnego C∈R prosta Ax+By+C=0 jest prostopadła do wektora [A,B].

Zatem prosta prostopadła do wektora 

$\overrightarrow{AB}=\left[2,4\right]$  

jest postaci 

$2x+4y+C=0$  

Do wykresu symetralnej należy środek odcinka AB, czyli punkt S=(2,5), zatem mamy 

$2\cdot 2+4\cdot 5+C=0$  

$4+20+C=0$  

$C=-24$

czyli równanie symetralnej odcinka AB jest postaci 

$2x+4y-24=0\mid :2$  

$x+2y-12=0$