Z treści zadania wiemy, że funkcja:

$f\left(x\right)=x^2-x+m^2-m,m\in \mathbb{R}$

ma dwa miejsca zerowe x₁, x₂ takie, że:

$3x_1+2x_2=m+1$

Należy uzasadnić, że:

${\left(x_1\right)}^5+{\left(x_2\right)}^5=1$  

---

Zauważmy, że ze wzorów Viete'a dostajemy: 

$x_1+x_2=\frac{1}{1}=1,\text{więc:}{x}_2=1-x_1$  

$x_1\cdot x_2=\frac{m^2-m}{1}=m^2-m$

---

Wobec tego:

$3x_1+2x_2=m+1$

$2x_1+2x_2+x_1=m+1$

$2\left(x_1+x_2\right)+x_1=m+1$

$2\cdot 1+x_1=m+1$

$2+x_1=m+1$

$x_1=m-1$

zatem:

$x_2=1-x_1=1-\left(m-1\right)=2-m$

---

Dostajemy:

$x_1\cdot x_2=\left(m-1\right)\left(2-m\right)=m^2-m$

$2m-m^2-2+m=m^2-m$   

$-2m^2+4m-2=0$

$m^2-2m+1=0$

${\left(m-1\right)}^2=0$    

$m-1=0$

$m=1$

---

Możemy zapisać, że:

$x_1=m-1=1-1=0$

$x_2=2-m=2-1=1$

Zatem rozpisujemy lewą stronę równania:

$\text{L}={\left(x_1\right)}^5+{\left(x_2\right)}^5=0^5+1^5=0+1=1=\text{P}$      

co należało uzasadnić.