Należy wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja:

$f\left(x\right)=-x^3+m{x}^2+mx+m$

jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych. 

---

Obliczamy pochodną funkcji f: 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+2mx+m$

Aby funkcja f była malejąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych, to:

$f{}^{\prime }\left(x\right)\le 0$

Wobec tego rozwiązujemy nierówność:

$-3x^2+2mx+m\le 0$

$-3x^2+2mx+m=0$

$\Delta ={\left(2m\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot m=4m^2+12m$

Zauważamy, że ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f' są skierowane w dół, więc aby powyższa nierówność
była spełniona, to:

$\Delta \le 0$

czyli:

$4m^2+12m\le 0\mid :4$

$m^2+3m\le 0$    

$m\left(m+3\right)\le 0$

$m\left(m+3\right)=0$  

$m=0\text{lub}m=-3$  

$m\in \left[-3,0\right]$