Poniżej rysunek pomocniczy:

---

a)

Wyznaczamy równanie prostej AC:

$\{\begin{array}{l}-2=b_1\\ 6=-2a_1+b_1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_1=-2\\ 6=-2a_1-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_1=-2\\ 2a_1=-8\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_1=-2\\ a_1=-4\end{array}$  

czyli 

$AC:y=-4x-2$  

 

Wyznaczamy równanie prostej BD:

$\{\begin{array}{l}5=a_2+b_2\\ 3=-3a_2+b_2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_2=5-a_2\\ 3=-3a_2+5-a_2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_2=5-a_2\\ 4a_2=2\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_2=5-a_2\\ a_2=\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_2=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\\ a_2=\frac{1}{2}\end{array}$  

czyli 

$BD:y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$  

 

Wyznaczamy współrzędne punktu S- przecięcia prostych AC i BD:

$\{\begin{array}{l}y=-4x-2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4x-2\\ -4x-2=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4x-2\\ -\frac{9}{2}x=\frac{13}{2}\mid :\left(-\frac{9}{2}\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4x-2\\ x=-\frac{13}{9}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4\cdot \left(-\frac{13}{9}\right)-2\\ x=-\frac{13}{9}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{34}{9}\\ x=-\frac{13}{9}\end{array}$  

czyli 

$S=\left(-\frac{13}{9},\frac{34}{9}\right)$  

---

---

b)

Zauważmy, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól np. trójkątów ACB i ACD. 

 

Obliczamy długość przekątnej AC:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(6-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{4+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$  

 

Przekształcamy wzór prostej AC do postaci ogólnej i otrzymujemy 

$4x+y+2=0$  

 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej obliczamy odległość punktu B=(1,5) od prostej AC:

$d_1=\frac{\left|4\cdot 1+1\cdot 5+2\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{\left|11\right|}{\sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{17}}$  

Zauważmy, że ległość punktu B od prostej AC jest równa długości wysokości w trójkącie ACB poprowadzonej na podstawę AC.

 

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej obliczamy odległość punktu D=(-3,3) od prostej AC:

$d_2=\frac{\left|4\cdot \left(-3\right)+1\cdot 3+2\right|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{\left|-12+3+2\right|}{\sqrt{17}}=\frac{\left|-7\right|}{\sqrt{17}}=\frac{7}{\sqrt{17}}$  

Zauważmy, że ległość punktu D od prostej AC jest równa długości wysokości w trójkącie ACD poprowadzonej na podstawę AC.

 

Obliczamy pola trójkątów ACB i ACD:

$P_{ACB}=\frac{\left|AC\right|\cdot d_1}{2}=\frac{2\sqrt{17}\cdot \frac{11}{\sqrt{17}}}{2}=11$  

$P_{ACD}=\frac{\left|AC\right|\cdot d_2}{2}=\frac{2\sqrt{17}\cdot \frac{7}{\sqrt{17}}}{2}=7$  

 

Obliczamy pole czworokąta ABCD:

$P_{ABCD}=P_{ACB}+P_{ACD}=11+7=18$