Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

---

a)

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(-3,0) i B=(1,3). 

Otrzymujemy 

$\{\begin{array}{l}0=-3a+b\\ 3=a+b\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}b=3a\\ 3=a+3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=3a\\ 3=4a\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=3a\\ \frac{3}{4}=a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{9}{4}\\ a=\frac{3}{4}\end{array}$  

czyli 

$AB:y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$  

przekształcając równanie proste AB do postaci ogólnej dostajemy 

$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\mid \cdot 4$  

$4y=3x+9\mid -3x-9$  

$-3x+4y-9=0$  

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej obliczamy odległość punktu C=(-1,4) od prostej AB:

$h=\frac{\left|-3\cdot \left(-1\right)+4\cdot 4-9\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}}=\frac{\left|3+16-9\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|10\right|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$  

Odp. Długość opuszczona z wierzchołka C na podstawę AB jest równa 2. 

---

b)

Obliczamy długość podstawy AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1+3\right)}^2+3^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$   

Obliczamy pole trójkąta ABC

$P_{ABC}=\frac{5\cdot h}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5$  

Odp. Pole trójkąta ABC jest równe 5.