Skorzystamy z następującego twierdzenia:

Liczba przekątnych n-kąta wypukłego jest równa  $\frac{1}{2}n\left(n-3\right)$  

---

a) Obliczamy liczbę przekątnych siedmiokąta wypukłego 

$\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \left(7-3\right)=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14$

---

b) Liczba przekątnych wielokąta wypukłego: n (n ∈ N, n > 2). 

    Liczba boków wielokąta wypukłego: n. 

Korzystając z przypomnianego wyżej twierdzenia dostajemy 

$\frac{1}{2}n\left(n-3\right)=n\mid \cdot 2$

$n\left(n-3\right)=2n$

$n^2-3n=2n$

$n^2-5n=0$

$n\left(n-5\right)=0$

$\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{n=0}\vee n-5=0$

$n=5$        

czyli 

$n=5$  

---

c)  Liczba przekątnych wielokąta wypukłego: 54 . 

     Liczba boków wielokąta wypukłego: n (n ∈ N, n > 2). 

Korzystając z przypomnianego wyżej twierdzenia dostajemy 

$\frac{1}{2}n\left(n-3\right)=54\mid \cdot 2$

$n\left(n-3\right)=108$

$n^2-3n=108$

$n^2-3n-108=0$

$\Delta =9-4\cdot 1\cdot \left(-108\right)=9+432=441$

$\sqrt{\Delta }=21$

$n_1=\frac{3-21}{2}=\frac{-18}{2}=\underset{\text{(sprzecznosˊcˊ)}}{-9}$  

$n_2=\frac{3+21}{2}=\frac{24}{2}=12$

czyli 

$n=12$

---

d)  Liczba boków wielokąta wypukłego: n (n ∈ N, n > 2). 

Wiedząc, że liczba przekątnych wielokąta jest mniejsza od 27 dostajemy 

$\frac{1}{2}n\left(n-3\right)<27\mid \cdot 2$

$n\left(n-3\right)<54$  

$n^2-3n<54$

$n^2-3n-54<0$

$\Delta =9-4\cdot 1\cdot \left(-54\right)=9+216=225$

$\sqrt{\Delta }=15$

$n_1=\frac{3-15}{2}=-6$               

$n_2=\frac{3+15}{2}=9$

czyli 

$n\in \left(-6,9\right)$

uwzględniając założenie mamy  

$n\in \left\{3,4,5,6,7,8\right\}$

czyli szukany wielokąt może mieć co najwyżej osiem boków. 

---

e) Liczba boków wielokąta wypukłego: 2n+1 (n ∈ N, n > 1). 

Obliczamy liczbę przekątnych tego wielokąta

$\frac{1}{2}\cdot \left(2n+1\right)\left(2n+1-3\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(2n+1\right)\left(2n-2\right)=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(2n+1\right)\cdot 2\left(n-1\right)=\left(2n+1\right)\underset{=k}{\underbrace{\left(n-1\right)}}=k\cdot \left(2n+1\right),k\in \mathbb{N},k>1$  

czyli liczba przekątnych wielokąta (o nieparzystej liczbie boków) jest wielokrotnością jego liczby boków. 

co należało uzasadnić