a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Obliczmy pole kwadratu ABCD 

$P_{ABCD}=2^2=4$  

---

Obliczmy pole koła opisanego na kwadracie ABCD. 

Zauważmy, że promień r tego koła jest dwa razy krótszy od przekątnej d kwadratu, czyli 

$r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$  

skąd dostajemy 

$P_r=\pi r^2=\pi \cdot {\sqrt{2}}^2=2\pi$  

---

Zauważmy, że suma pól czterech półokręgów, których średnicami są boki kwadratu ABCD jest dwa razy większa od pola koła o promieniu 1, czyli suma pól tych półokręgów jest równa 

$P_p=2\cdot \pi \cdot 1^2=2\pi$  

---

Pole zacieniowanej figury jest równe sumie pól kwadratu ABCD i czterech półokręgów (których średnicami są boki kwadratu), pomniejszonej o pole koła opisanego na kwadracie ABCD.

Zatem pole zacieniowanej figury jest równe 

$P=P_{ABCD}+P_p-P_r=4+2\pi -2\pi =4$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Obliczamy pole trójkąta ABC

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$

---

Obliczmy pole koła o promieniu r opisanego na trójkącie ABC. 

Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli 

$\left|BC\right|=2r$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

${\left(2r\right)}^2=2^2+4^2$

$4r^2=4+16$

$4r^2=20\mid :4$

$r^2=5$

Obliczamy pole tego koła 

$P_r=\pi r^2=\pi \cdot 5=5\pi$    

---

Zauważmy, że pole półokręgu, którego średnicą jest przyprostokątna AC wynosi

$P_1=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{1}{2}\pi$   

---

Pole półokręgu, którego średnicą jest przyprostokątna AB wynosi

$P_2=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 2^2=2\pi$   

---

Pole zacieniowanej figury jest równe sumie pól trójkąta ABC i dwóch półokręgów (których średnicami są przyprostokątne tego trójkąta), pomniejszonej o połowę pola koła opisanego na trójkącie ABC.

Zatem pole zacieniowanej figury jest równe 

$P=P_{ABC}+P_1+P_2-\frac{1}{2}\cdot P_r=4+\frac{1}{2}\pi +2\pi -\frac{1}{2}\cdot 5\pi =4+\frac{5}{2}\pi -\frac{5}{2}\pi =4$