Treść:

Rosnący ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$    jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$   . Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy $a_3,a_5,a_{13}$   tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$   .

 

Rozwiązanie:

Suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa 10, a więc:

$S_5=10$  

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot r}{2}\cdot n$    - wzór na sumę n-pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego

$S_5=\frac{2a_1+\left(5-1\right)\cdot r}{2}\cdot 5=\frac{2a_1+4\cdot r}{2}\cdot 5=\left(a_1+2\cdot r\right)\cdot 5=5a_1+10\cdot r=10$   

$5a_1+10\cdot r=10$  

$5a_1=10-10r\mid :5$  

$a_1=2-2r$