Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształćmy podaną nierówność:

${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}$    

$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le \frac{2a^2+2b^2}{4}\mid -\frac{2a^2+2b^2}{4}$  

$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2}{4}\le 0$  

$\frac{-a^2+2ab-b^2}{4}\le 0$  

$\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{4}\le 0\mid \cdot \left(-4\right)$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem podana nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

c.n.w.