$a\text{)}W\left(x\right)=6x^4-5x^3+7x^2-5x+1$  

Wyznaczmy wymierne pierwiastki wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$6x^4-5x^3+7x^2-5x+1=0$  

$6x^4+6x^2-5x^3-5x+x^2+1=0$  

$6x^2\left(x^2+1\right)-5x\left(x^2+1\right)+x^2+1=0$  

$\left(x^2+1\right)\left(6x^2-5x+1\right)=0$  

Zauważmy, że:

$x^2+1>0$   dla  $x\in \mathbb{R}$ , zatem:

$\left(x^2+1\right)\left(6x^2-5x+1\right)=0\mid :\left(x^2+1\right)$  

$6x^2-5x+1=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{5-1}{2\cdot 6}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{5+1}{2\cdot 6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$  

Odp.: Pierwiastki tego wielomianu to:  $\frac{1}{3},\frac{1}{2}.$  

---

$b\text{)}W\left(x\right)=2x^4-4x^3+x^2+x-\frac{3}{8}$  

Niektóre współczynniki wielomianu  $W\left(x\right)$  nie są liczbami całkowitymi, ale wielomian ten możemy zapisać w postaci iloczynu liczby wymiernej i wielomianu o współczynnikach całkowitych:

$W\left(x\right)=2x^4-4x^3+x^2+x-\frac{3}{8}=\frac{1}{8}\left(16x^4-32x^3+8x^2+8x-3\right)=\frac{1}{8}\cdot P\left(x\right)$  

$P\left(x\right)=16x^4-32x^3+8x^2+8x-3$  

Wielomiany  $W\left(x\right)$  i  $P\left(x\right)$  mają takie same pierwiastki, zatem wystarczy znaleźć pierwiastki wielomianu  $P\left(x\right)$

Wielomian  $P\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-3\right),$  więc  $p\in \left\{-3,-1,1,3\right\}$    

$q\mid 16,$  więc  $q\in \left\{-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{8},-\frac{1}{4},-\frac{3}{16},-\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{3}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},2\right\}$   

Jeżeli wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{8},-\frac{1}{4},-\frac{3}{16},-\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{3}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},2\right\}$   

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right):$  

$P\left(2\right)=16\cdot 2^4-32\cdot 2^3+8\cdot 2^2+8\cdot 2-3=45\ne 0$  

$P\left(\frac{3}{2}\right)=16\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^4-32\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3+8\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2+8\cdot \frac{3}{2}-3=0$  

Liczba  $\frac{3}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $P\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-\frac{3}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $P\left(x\right):\left(x-\frac{3}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$16$	$-32$	$8$	$8$	$-3$
$\frac{3}{2}$		$24$	$-12$	$-6$	$3$
	$16$	$-8$	$-4$	$2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $P\left(x\right)=16x^4-32x^3+8x^2+8x-3$  przez dwumian  $Q\left(x\right)=x-\frac{3}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $T\left(x\right)=16x^3-8x^2-4x+2.$  

Sprawdźmy czy wielomian  $T\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$16x^3-8x^2-4x+2=0$  

$8x^2\left(2x-1\right)-2\left(2x-1\right)=0$  

$\left(2x-1\right)\left(8x^2-2\right)=0$  

$\left(2x-1\right)\cdot 2\left(4x^2-1\right)=0$  

$2\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$  

${\left(2x-1\right)}^2\left(2x+1\right)=0$  

${\left(2x-1\right)}^2=0\vee 2x+1=0$  

$2x-1=0\vee 2x+1=0$  

$x=\frac{1}{2}\vee x=-\frac{1}{2}$  

 

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy pierwiastki. Są to:  $\frac{3}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}.$