$\text{a)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-3x-10$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-10\right),$  więc  $p\in \left\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\right\}$    

$q\mid 1,$  więc  $q\in \left\{-1,1\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\right\}$   

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\right\}$   

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(2\right)=8+8-6-10=0$  

Liczba  $2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-2\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$2$	$-3$	$-10$
$2$		$2$	$8$	$10$
	$1$	$4$	$5$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^3+2x^2-3x-10$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-2$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^2+4x+5.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+4x+5\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =16-20=-4<0$  

Trójmian  $Q\left(x\right)$  nie ma pierwiastków.

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma jeden pierwiastek. Jest nim liczba  $2.$  

---

$\text{b)}W\left(x\right)=3x^3+8x^2+3x-2$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-2\right),$  więc  $p\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

$q\mid 3,$  więc  $q\in \left\{-3,-1,1,3\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-2,-1,-\frac{2}{3},\frac{2}{3},1,2\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-2,-1,-\frac{2}{3},\frac{2}{3},1,2\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(-1\right)=-3+8-3-2=0$  

Liczba  $-1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+1\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+1\right)$  algorytmem Hornera:

	$3$	$8$	$3$	$-2$
$-1$		$-3$	$-5$	$2$
	$3$	$5$	$-2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=3x^3+8x^2+3x-2$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+1$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=3x^2+5x-2.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(3x^2+5x-2\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =25+24=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{-5-7}{6}=-2\vee x=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$  

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy pierwiastki. Są to:  $-2,-1,\frac{1}{3}.$  

---

$\text{c)}W\left(x\right)=x^3+2x^2-15x-36$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-36\right),$  więc  $p\in \left\{-36,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,9,12,18,36\right\}$  

$q\mid 1,$  więc  $q\in \left\{-1,1\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-36,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,9,12,18,36\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-36,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,9,12,18,36\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(-3\right)=-27+18+45-36=0$  

Liczba  $-3$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+3\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+3\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$2$	$-15$	$-36$
$-3$		$-3$	$3$	$36$
	$1$	$-1$	$-12$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^3+2x^2-15x-36$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+3$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^2-x-12.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x^2-x-12\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =1+48=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x=\frac{1-7}{2}=-3\vee x=\frac{1+7}{2}=4$  

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma dwa pierwiastki. Są to:  $-3,4.$  

---

$\text{d)}W\left(x\right)=-2x^3+28x-16$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-16\right),$  więc  $p\in \left\{-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16\right\}$  

$q\mid \left(-2\right),$  więc  $q\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-16,-8,-4,-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,4,8,16\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-16,-8,-4,-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,4,8,16\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(-4\right)=128-112-16=0$  

Liczba  $-4$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+4\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+4\right)$  algorytmem Hornera:

	$-2$	$0$	$28$	$-16$
$-4$		$8$	$-32$	$16$
	$-2$	$8$	$-4$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=-2x^3+28x-16$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+4$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=-2x^2+8x-4.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(-2x^2+8x-4\right)=-2\left(x+4\right)\left(x^2-4x+2\right)$  

Niech  $S\left(x\right)=x^2-4x+2.$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $S\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =16-8=8,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}$  

$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\vee x=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$  

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy pierwiastki. Są to:  $-4,2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}.$  

---

$\text{e)}W\left(x\right)=2x^3+4x-24$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej trzy pierwiastki, bo  $st.W\left(x\right)=3.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-24\right),$  więc  $p\in \left\{-24,-12,-8,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,8,12,24\right\}$  

$q\mid -2,$  więc  $q\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-24,-12,-8,-6,-4,-3,-2,-\frac{3}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,3,4,6,8,12,24\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-24,-12,-8,-6,-4,-3,-2,-\frac{3}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,3,4,6,8,12,24\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(2\right)=16+8-24=0$  

Liczba  $2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-2\right)$  algorytmem Hornera:

	$2$	$0$	$4$	$-24$
$2$		$4$	$8$	$24$
	$2$	$4$	$12$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=2x^3+4x-24$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-2$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=2x^2+4x+12.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+4x+12\right)$  

 

Szukamy teraz pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  Jest to trójmian kwadratowy, więc obliczamy:

$\Delta =16-96=-80<0$  

Trójmian  $Q\left(x\right)$  nie ma pierwiastków.

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma jeden pierwiastek. Jest nim liczba  $2.$  

---

$\text{f)}W\left(x\right)=x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej pięć pierwiastków, bo  $st.W\left(x\right)=5.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-1\right),$  więc  $p\in \left\{-1,1\right\}$  

$q\mid 1,$  więc  $q\in \left\{-1,1\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-1,1\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-1,1\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(1\right)=1-1+2-2+1-1=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-1\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-1\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$-1$	$2$	$-2$	$1$	$-1$
$1$		$1$	$0$	$2$	$0$	$1$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-1$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^4+2x^2+1.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^4+2x^2+1\right)=\left(x-1\right){\left(x^2+1\right)}^2$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem:

$x^2+1>0,x\in \mathbb{R}$  

 

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma jeden pierwiastek. Jest nim liczba  $1.$  

---

$\text{g)}W\left(x\right)=4x^5-8x^4-4x^3+8x^2+x-2$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej pięć pierwiastków, bo  $st.W\left(x\right)=5.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-2\right),$  więc  $p\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

$q\mid 4,$  więc  $q\in \left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-2,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-2,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(2\right)=128-128-32+32+2-2=0$   

Liczba  $2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-2\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-2\right)$  algorytmem Hornera:

	$4$	$-8$	$-4$	$8$	$1$	$-2$
$2$		$8$	$0$	$-8$	$0$	$2$
	$4$	$0$	$-4$	$0$	$1$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=4x^5-8x^4-4x^3+8x^2+x-2$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-2$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=4x^4-4x^2+1.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(4x^4-4x^2+1\right)=\left(x-2\right){\left(2x^2-1\right)}^2$  

Szukamy pierwiastków wielomianu  $S\left(x\right)={\left(2x^2-1\right)}^2$  

${\left(2x^2-1\right)}^2=0$  

$2x^2-1=0$  

$2x^2=1$  

$x^2=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy pierwiastki. Są to:  $-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},2.$  

---

$\text{h)}W\left(x\right)=x^5-x^4-x^3+x^2-6x+6$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma co najwyżej pięć pierwiastków, bo  $st.W\left(x\right)=5.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid 6,$  więc  $p\in \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

$q\mid 1,$  więc  $q\in \left\{-1,1\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(6\right)=6^5-6^4-6^3+6^2-36+6=6270$  

$W\left(3\right)=3^5-3^4-3^3+3^2-9+6=141$  

$W\left(2\right)=2^5-2^4-2^3+2^2-6+6=12$  

$W\left(1\right)=1^5-1^4-1^3+1^2-6+6=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-1\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-3\right)$  algorytmem Hornera:

	$1$	$-1$	$-1$	$1$	$-6$	$6$
$1$		$1$	$0$	$-1$	$0$	$-6$
	$1$	$0$	$-1$	$0$	$-6$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=x^5-x^4-x^3+x^2-6x+6$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-1$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=x^4-x^2-6.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^4-x^2-6\right)$  

Oznaczamy:

$x^2=t,t\ge 0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu $Q\left(t\right)$  :

$\Delta =\left(-1\right)-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$t_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2<0$  

$t_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3>0$  

zatem:

$x^2=3$  

$x_1=-\sqrt{3}\vee x_2=\sqrt{3}$  

 

Odp. Wielomian  $W\left(x\right)$  ma trzy pierwiastki. Są to:  $-\sqrt{3},1,\sqrt{3}.$