Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Pole trójkąta ABC zapisujemy jako sumę pól trójkątów ACD i DBC:

$\frac{1}{2}\left|AC\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{1}{2}\left|AC\right|\cdot y\cdot \sin {60}^{\circ }+\frac{1}{2}\left|BC\right|\cdot y\cdot \sin {60}^{\circ }$  

$\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot x\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot y\cdot \sin {60}^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot \sin {60}^{\circ }$  

$x^2\cdot \sin {60}^{\circ }=xy\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}xy\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\mid :x>0$  

$x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=y\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+y\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$  

$x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=y\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}\mid :\frac{3\sqrt{3}}{4}$  

$\frac{2}{3}x=y$  

---

Oznaczmy:

β - kąt przy wierzchołku B

R₁ - promień okręgu opisanego na trójkącie DBC

R₂ - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC 

---

Z tw. sinusów dla trójkąta ABC

$2R_2=\frac{\left|AC\right|}{\sin \beta }$  

$2R_2=\frac{2x}{\sin \beta }\mid :2$  

$R_2=\frac{x}{\sin \beta }$  

---

Z tw. sinusów dla trójkąta DBC

$2R_1=\frac{\left|CD\right|}{\sin \beta }$  

$2R_1=\frac{\frac{2}{3}x}{\sin \beta }\mid :2$  

$R_1=\frac{\frac{1}{3}x}{\sin \beta }=\frac{1}{3}\cdot \frac{x}{\sin \beta }$  

---

Mamy więc:

$\frac{R_2}{R_1}=\frac{\frac{x}{\sin \beta }}{\frac{1}{3}\cdot \frac{x}{\sin \beta }}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$  

czyli 

$R_2:R_1=3:1$  

c.n.w.