Podstawa AB trójkąta ABC ma długość...- Zadanie 7.113: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy:

k₁ - skala podobieństwa trójkąta A₁B₁C do trójkąta A₂B₂C

k₂ - skala podobieństwa trójkąta A₂B₂C do trójkąta ABC

P₁ - pole trójkąta A₁B₁C

P₂ - pole trójkąta A₂B₂C

P - pole trójkąta ABC

Obliczamy skalę k₁:

$k_{1} = \frac{∣ A _{1} B _{1} ∣}{∣ A _{2} B _{2} ∣} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Obliczamy skalę k₂:

$k_{2} = \frac{∣ A _{2} B _{2} ∣}{∣ A B ∣} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

Obliczamy stosunek pól P₁:P₂:

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = (k_{1})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$

Obliczamy stosunek pól P₂:P:

$\frac{P _{2}}{P} = (k_{2})^{2} = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$

Odp. Stosunek pól trójkątów A₁B₁C, A₂B₂C i ABC jest równy 4:25:36.

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Wyznaczamy długość odcinka x:

$\frac{h - x}{h} = k_{2}$

$\frac{h - x}{h} = \frac{5}{6}$

$6 (h - x) = 5 h$

$6 h - 6 x = 5 h$

$h = 6 x ∣ : 6$

$x = \frac{1}{6} h$

Wyznaczamy długość odcinka y:

$\frac{h - y}{h - x} = k_{1}$

$\frac{h - y}{h - \frac{1}{6} h} = \frac{2}{5}$

$\frac{h - y}{\frac{5}{6} h} = \frac{2}{5}$

$5 (h - y) = 2 \cdot \frac{5}{6} h$

$5 h - 5 y = \frac{5}{3} h$

$\frac{10}{3} h = 5 y ∣ : 5$

$y = \frac{2}{3} h$

Obliczamy pole trójkąta A₁B₁C:

$P_{A_{1} B_{1} C} = \frac{1}{2} \cdot ∣ A_{1} B_{1} ∣ \cdot (h - y) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (h - \frac{2}{3} h) = 4 \cdot \frac{1}{3} h = \frac{4}{3} h$

Obliczamy pole trapezu A₂B₂B₁A₁:

$P_{A_{2} B_{2} B_{1} A_{1}} = \frac{∣ A _{1} B _{1} ∣ + ∣ A _{2} B _{2} ∣}{2} \cdot (y - x) = \frac{8 + 20}{2} \cdot (\frac{2}{3} h - \frac{1}{6} h) = \frac{28}{2} \cdot (\frac{4}{6} h - \frac{1}{6} h) = 14 \cdot \frac{3}{6} h = 14 \cdot \frac{1}{2} h = 7 h$

Obliczamy pole trapezu ABB₂A₂:

$P_{A B B_{2} A_{2}} = \frac{∣ A B ∣ + ∣ A _{2} B _{2} ∣}{2} \cdot x = \frac{24 + 20}{2} \cdot \frac{1}{6} h = \frac{44}{2} \cdot \frac{1}{6} h = \frac{22}{6} h = \frac{11}{3} h$