Wyznaczmy współrzędne punktu C (wiedząc, że jest on wierzchołkiem paraboli p):

$C\left(4,0\right)$  

Wiemy, że:

$\left|\sphericalangle ACB\right|={120}^{\circ }$  

oraz, że trójkąt ABC jest równoramienny, zatem możemy wykonać rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że prosta BC jest nachylona do osi OX pod kątem 

${90}^{\circ }-\left({120}^{\circ }:2\right)={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Zatem, łatwo możemy obliczyć współczynnik kierunkowy we wzorze prostej BC:

$a=\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Obliczmy wartość wyrazu wolnego we wzorze prostej BC:

$0=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+b$  

$0=\frac{4\sqrt{3}}{3}+b$  

$b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

zatem:

$BC:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

Wyznaczmy współrzędne punktu B:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ y=\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2\mid \cdot 12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\\ 4\sqrt{3}x-16\sqrt{3}=3{\left(x-4\right)}^2\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$4\sqrt{3}x-16\sqrt{3}=3{\left(x-4\right)}^2$  

$4\sqrt{3}x-16\sqrt{3}=3\left(x^2-8x+16\right)$  

$4\sqrt{3}x-16\sqrt{3}=3x^2-24x+48$  

$3x^2-\left(4\sqrt{3}+24\right)x+48+16\sqrt{3}=0$  

$\Delta ={\left(4\sqrt{3}+24\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(48+16\sqrt{3}\right)=48+192\sqrt{3}+576-576-192\sqrt{3}=48$  

$\sqrt{\Delta }=4\sqrt{3}$  

$x_B=\frac{4\sqrt{3}+24+4\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}+24}{6}=\frac{4\sqrt{3}+12}{3}$  

$x_C=\frac{4\sqrt{3}+24-4\sqrt{3}}{6}=\frac{24}{6}=4$  

zatem:

$y_B=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}+12}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{12+12\sqrt{3}}{9}-\frac{12\sqrt{3}}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$  

czyli:

$B=\left(\frac{4\sqrt{3}+12}{3},\frac{4}{3}\right)$  

Łatwo możemy zauważyć, że:

$y_A=\frac{4}{3}$  

ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny.

Obliczmy wartość pierwszej współrzędnej punktu A:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}\\ y=\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}\\ \frac{4}{3}=\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}\\ \frac{16}{3}={\left(x-4\right)}^2\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

${\left(x-4\right)}^2=\frac{16}{3}$  

$\left|x-4\right|=\frac{4}{\sqrt{3}}$  

$\left|x-4\right|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

zatem:

$x-4=\frac{4\sqrt{3}}{3}\vee x-4=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$   

$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}+4\vee x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}+4$   

więc:

$x_A=\frac{-4\sqrt{3}+12}{3}$  

czyli:

$A=\left(\frac{-4\sqrt{3}+12}{3},\frac{4}{3}\right)$  

Odp.: Szukane współrzędne tego trójkąta to punkty  $A=\left(\frac{-4\sqrt{3}+12}{3},\frac{4}{3}\right),B=\left(\frac{4\sqrt{3}+12}{3},\frac{4}{3}\right),C=\left(4,0\right)$  .