Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta:

Niech dany będzie punkt $M\left(x,y\right)$ w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dla dowolnego kąta $\alpha$, o jednym ramieniu pokrywającym się z dodatnią półosią $Ox$, wierzchołku w punkcie $O\left(0,0\right)$oraz drugim ramieniu pokrywającym się z półprostą $OM$ możemy zdefiniować funkcje trygonometryczne w następujący sposób:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x},\text{dla}x\ne 0$

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{x}{y},\text{dla}y\ne 0$

gdzie

$r=\left|OM\right|=\sqrt{x^2+y^2}>0$

---

$a\text{)}P\left(12,5\right)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy odległość punktu P od punktu O:

$\left|OP\right|=\sqrt{{12}^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$  

zatem: