Wykonajmy rysunek pomocniczy:

a) Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AD: 

${\left|AD\right|}^2+{14,4}^2={18}^2$  

${\left|AD\right|}^2+207,36=324$  

${\left|AD\right|}^2=116,64$  

$\left|AD\right|=10,8$  

Wiemy, że:

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$  

zatem:

$\left|DC\right|=\left|AC\right|-\left|AD\right|$  

$\left|DC\right|=\left|BC\right|-10,8$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka BC:

${\left|DC\right|}^2+{14,4}^2={\left|BC\right|}^2$  

${\left(\left|BC\right|-10,8\right)}^2+{14,4}^2={\left|BC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2-21,6\left|BC\right|+116,64+207,36={\left|BC\right|}^2$  

$324=21,6\left|BC\right|$  

$\left|BC\right|=15\text{[cm]}$  

więc:

$\left|AC\right|=15\text{[cm]}$  

---

b) Korzystamy z twierdzenia o podziale boku przez dwusieczną:

$\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{18}{15}$  

oraz:

$\left|BC\right|=\left|BP\right|+\left|PC\right|$  

więc:

$\{\begin{array}{l}\frac{|BP|}{|PC|}=\frac{18}{15}\\ \left|BP\right|+\left|PC\right|=15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{|BP|}{|PC|}=\frac{18}{15}\\ \left|BP\right|=15-\left|PC\right|\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{15-|PC|}{|PC|}=\frac{18}{15}\\ \left|BP\right|=15-\left|PC\right|\end{array}$

zatem:

$15\cdot \left(15-\left|PC\right|\right)=18\left|PC\right|$  

$225-15\left|PC\right|=18\left|PC\right|$  

$225=33\left|PC\right|$  

$\left|PC\right|=6\frac{9}{11}\text{[cm]}$  

więc:

$\left|BP\right|=15-6\frac{9}{11}$  

$\left|BP\right|=8\frac{2}{11}\text{[cm]}$  

---

c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka EC:

${\left|EC\right|}^2+{14,4}^2={15}^2$  

${\left|EC\right|}^2+207,36=225$  

${\left|EC\right|}^2=17,64$  

$\left|EC\right|=4,2\text{[cm]}$  

Wiemy, że:

$\left|PC\right|=6\frac{9}{11}$  

Obliczmy długość odcinka EP:

$\left|EP\right|=\left|PC\right|-\left|EC\right|$  

$\left|EP\right|=6\frac{9}{11}-4,2$  

$\left|EP\right|=6\frac{90}{110}-4\frac{22}{110}$  

$\left|EP\right|=2\frac{68}{110}$  

$\left|EP\right|=2\frac{34}{55}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AP:

${\left|AE\right|}^2+{\left|EP\right|}^2={\left|AP\right|}^2$  

${14,4}^2+{\left(2\frac{34}{55}\right)}^2={\left|AP\right|}^2$  

$207,36+{\left(\frac{144}{55}\right)}^2={\left|AP\right|}^2$  

$207\frac{36}{100}+\frac{20736}{3025}={\left|AP\right|}^2$  

$207\frac{9}{25}+\frac{20736}{3025}={\left|AP\right|}^2$  

$207\frac{1089}{3025}+\frac{20736}{3025}={\left|AP\right|}^2$  

$207\frac{21825}{3025}={\left|AP\right|}^2$  

$\frac{648000}{3025}={\left|AP\right|}^2$  

$\left|AP\right|=\frac{120\sqrt{45}}{55}$  

$\left|AP\right|=\frac{24\cdot 3\sqrt{5}}{11}$  

$\left|AP\right|=\frac{72\sqrt{5}}{11}$