Wykonajmy rysunek pomocniczy: 

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle ACD\right|=\left|\sphericalangle ACB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|$  

 

Korzystając z twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wiemy, że:

$\left|\sphericalangle BCD\right|=\left|\sphericalangle CBA\right|=\alpha$  

 

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają tę samą miarę, więc:

$\left|\sphericalangle CDA\right|=\left|\sphericalangle CBA\right|=\alpha$  

 

zatem:

$\left|\sphericalangle ACD\right|-\left|\sphericalangle CDA\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|-\left|\sphericalangle CBA\right|=$  

$=\left|\sphericalangle ACD\right|-\left|\sphericalangle BCD\right|=\left|\sphericalangle ACB\right|={90}^{\circ }$  

c.n.w.