Dane są takie dwa okręgi...- Zadanie 4.69: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dwa okręgi $o (A, r_{1})$ i $o (B, r_{2})$ są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy,

gdy $∣ A B ∣ > r_{1} + r_{2} .$

Dwa okręgi $o (A, r_{1})$ i $o (B, r_{2})$ są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy,

gdy $∣ A B ∣ = r_{1} + r_{2} .$

Dwa okręgi $o (A, r_{1})$ i $o (B, r_{2})$ są przecinają się wtedy i tylko wtedy,

gdy $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < ∣ A B ∣ < r_{1} + r_{2} .$

Dwa okręgi $o (A, r_{1})$ i $o (B, r_{2})$ są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy,

gdy $∣ A B ∣ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣ \neq = 0 .$

Dwa okręgi $o (A, r_{1})$ i $o (B, r_{2})$ są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy,

gdy $∣ A B ∣ < ∣ r_{1} - r_{2} ∣ .$

$a) r_{1} = 2, r_{2} = 3, ∣ A B ∣ = k$

$r_{1} + r_{2} = 5$

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = ∣ 2 - 3 ∣ = ∣ - 1 ∣ = 1$

Odległość między środkami okręgów musi być nieujemna, stąd: $k \geq 0$

$∣ A B ∣ = k,$ zatem:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy $k > 5,$ tzn. $k \in (5, + \infty)$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy $k = 5$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy $1 < k < 5,$ tzn. $k \in (1, 5)$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy $k = 1$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy $k < 1 \land k \geq 0,$ tzn. $k \in ⟨ 0, 1)$

$b) r_{1} = k, r_{2} = k - 1, ∣ A B ∣ = 5$

$r_{1} + r_{2} = k + k - 1 = 2 k - 1$

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = ∣ k - (k - 1) ∣ = ∣ k - k + 1 ∣ = 1$

Promienie okręgów muszą być dodatnie, stąd:

$r_{1} > 0 \land r_{2} > 0$

$k > 0 \land k - 1 > 0$

$k > 0 \land k > 1$

$k \in (1, + \infty)$

$∣ A B ∣ = 5,$ zatem:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ > r_{1} + r_{2}$

$5 > 2 k - 1$

$6 > 2 k ∣ : 2$

$3 > k$

$k < 3$

$k \in (- \infty, 3)$

Ustaliliśmy, że $k \in (1, + \infty),$ zatem ostatecznie:

$k \in (1, 3)$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = r_{1} + r_{2}$

$5 = 2 k - 1$

$6 = 2 k ∣ : 2$

$3 = k$

$k = 3$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < ∣ A B ∣ < r_{1} + r_{2}$

$1 < 5 < 2 k - 1$

$5 < 2 k - 1$

$6 < 2 k ∣ : 2$

$3 < k$

$k > 3$

$k \in (3, + \infty)$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$5 = 1 -$ równość nie zachodzi, zatem te okręgi nie są styczne wewnętrznie

dla żadnej wartości parametru $k$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$5 < 1 -$ nierówność nie zachodzi, zatem te okręgi nie są rozłączne wewnętrznie

dla żadnej wartości parametru $k$

Podsumowując:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy $k \in (1, 3)$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy $k = 3$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy $k \in (3, + \infty)$

$c) r_{1} = 3, r_{2} = 2 k, ∣ A B ∣ = 4$

$r_{1} + r_{2} = 3 + 2 k$

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = ∣ 3 - 2 k ∣$

Promienie okręgów muszą być dodatnie, stąd:

$r_{2} > 0$

$2 k > 0 ∣; 2$

$k > 0$

$k \in (0, + \infty)$

$∣ A B ∣ = 4,$ zatem:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ > r_{1} + r_{2}$

$4 > 3 + 2 k$

$1 > 2 k ∣ : 2$

$\frac{1}{2} > k$

$k < \frac{1}{2}$

$k \in (- \infty, \frac{1}{2})$

Ustaliliśmy, że $k \in (0, + \infty),$ zatem ostatecznie:

$k \in (0, \frac{1}{2})$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = r_{1} + r_{2}$

$4 = 3 + 2 k$

$1 = 2 k ∣ : 2$

$\frac{1}{2} = k$

$k = \frac{1}{2}$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < ∣ A B ∣ < r_{1} + r_{2}$

$∣ 3 - 2 k ∣ < 4 < 3 + 2 k$

$∣ 3 - 2 k ∣ < 4 \land 3 + 2 k > 4$

$(3 - 2 k < 4 \land 3 - 2 k > - 4) \land 2 k > 1 ∣ : 2$

$(- 2 k < 1 \land - 2 k > - 7) ∣ : (- 2) \land k > \frac{1}{2}$

$(k > - \frac{1}{2} \land k < \frac{7}{2}) \land k > \frac{1}{2}$

$k \in (- \frac{1}{2}, \frac{7}{2}) \land k \in (\frac{1}{2}, + \infty)$

$k \in (\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$4 = ∣ 3 - 2 k ∣$

$3 - 2 k = 4 \lor 3 - 2 k = - 4$

$- 2 k = 1 \lor - 2 k = - 7 ∣ : (- 2)$

$k = - \frac{1}{2} < 0 \lor k = \frac{7}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$4 < ∣ 3 - 2 k ∣$

$∣ 3 - 2 k ∣ > 4$

$3 - 2 k > 4 \lor 3 - 2 k < - 4$

$- 2 k > 1 \lor - 2 k < - 7 ∣ : (- 2)$

$k < - \frac{1}{2} \lor k > \frac{7}{2}$

$k \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{7}{2}, + \infty)$

Ustaliliśmy, że $k \in (0, + \infty),$ zatem ostatecznie:

$k \in (\frac{7}{2}, + \infty)$

Podsumowując:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy $k \in (0, \frac{1}{2})$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy $k = \frac{1}{2}$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy $k \in (\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy $k = \frac{7}{2}$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy $k \in (\frac{7}{2}, + \infty)$

$d) r_{1} = 5 - k, r_{2} = k + 1, ∣ A B ∣ = 2$

$r_{1} + r_{2} = 5 - k + k + 1 = 6$

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = ∣ 5 - k - (k + 1) ∣ = ∣ 5 - k - k - 1 ∣ = ∣ 4 - 2 k ∣$

Promienie okręgów muszą być dodatnie, stąd:

$r_{1} > 0 \land r_{2} > 0$

$5 - k > 0 \land k + 1 > 0$

$- k > - 5 \land k > - 1$

$k < 5 \land k > - 1$

$k \in (- 1, 5)$

$∣ A B ∣ = 2,$ zatem:

$1)$ okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ > r_{1} + r_{2}$

$2 > 6 -$ nierówność nie zachodzi, zatem te okręgi nie są rozłączne zewnętrznie

dla żadnej wartości parametru $k$

$2)$ okręgi są styczne zewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = r_{1} + r_{2}$

$2 = 6 -$ równość nie zachodzi, zatem te okręgi nie są styczne zewnętrznie

dla żadnej wartości parametru $k$

$3)$ okręgi przecinają się, gdy

$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < ∣ A B ∣ < r_{1} + r_{2}$

$∣ 4 - 2 k ∣ < 2 < 6$

$∣ 4 - 2 k ∣ < 2$

$4 - 2 k < 2 \land 4 - 2 k > - 2$

$- 2 k < - 2 \land - 2 k > - 6 ∣ : (- 2)$

$k > 1 \land k < 3$

$k \in (1, 3)$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$2 = ∣ 4 - 2 k ∣$

$4 - 2 k = 2 \lor 4 - 2 k = - 2$

$- 2 k = - 2 \lor - 2 k = - 6 ∣ : (- 2)$

$k = 1 \lor k = 3$

$k \in {1, 3}$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy

$∣ A B ∣ < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

$2 < ∣ 4 - 2 k ∣$

$∣ 4 - 2 k ∣ > 2$

$4 - 2 k > 2 \lor 4 - 2 k < - 2$

$- 2 k > - 2 \lor - 2 k < - 6 ∣ : (- 2)$

$k < 1 \lor k > 3$

$k \in (- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$

Ustaliliśmy, że $k \in (- 1, 5),$ zatem ostatecznie:

$k \in (- 1, 1) \cup (3, 5)$

Podsumowując:

$3)$ okręgi przecinają się, gdy $k \in (1, 3)$

$4)$ okręgi są styczne wewnętrznie, gdy $k \in {1, 3}$

$5)$ okręgi są rozłączne wewnętrznie, gdy $k \in (- 1, 1) \cup (3, 5)$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (2)

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Proste prostopadłe i równoległe

13:32

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.