Mamy dane równanie:

$x^2-6ax+2=2a-9a^2$  

$x^2-6ax+9a^2-2a+2=0$  

Sprawdźmy dla jakich wartości parametru a to równanie ma rozwiązanie, czyli spełniony jest warunek:

$\Delta \ge 0$  

$\Delta ={\left(-6a\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(9a^2-2a+2\right)=36a^2-36a^2+8a-8=8a-8$  

$8a-8\ge 0$  

$a-1\ge 0$  

$a\ge 1$  

Zauważmy, że ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=x²-6ax+9a²-2a+2 są skierowane w górę, oraz rozwiązania podanego równania są większe od 3 zatem:

$1\text{)}f\left(3\right)>0\wedge 2\text{)}{x}_1+x_2>3+3\wedge 3\text{)}{x}_1\cdot x_2>3\cdot 3$  

$1\text{)}{3}^2-6a\cdot 3+9a^2-2a+2>0\wedge 2\text{)}{x}_1+x_2>6\wedge 3\text{)}{x}_1\cdot x_2>9$  

$1\text{)}11-18a+9a^2-2a>0\wedge 2\text{)}{x}_1+x_2>6\wedge 3\text{)}{x}_1\cdot x_2>9$  

$1\text{)}9a^2-20a+11>0\wedge 2\text{)}-\frac{-6a}{1}>6\wedge 3\text{)}\frac{9a^2-2a+2}{1}>9$  

$1\text{)}9a^2-20a+11>0\wedge 2\text{)}6a>6\wedge 3\text{)}9a^2-2a-7>0$  

$1\text{)}9a^2-20a+11>0\wedge 2\text{)}a>1\wedge 3\text{)}9a^2-2a-7>0$  

Rozwiążmy nierówność 1):

$9a^2-20a+11>0$  

$\Delta ={\left(-20\right)}^2-4\cdot 9\cdot 11=400-396=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$a_1=\frac{20-2}{2\cdot 9}=\frac{18}{18}=1$  

$a_2=\frac{20+2}{2\cdot 9}=\frac{22}{18}=\frac{11}{9}=1\frac{2}{9}$  

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=9a²-20a+11 są skierowane w górę, zatem:

$a\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(1\frac{2}{9},+\infty \right)$  

 

Rozwiążmy nierówność 3):

$9a^2-2a-7>0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 9\cdot \left(-7\right)=4+252=256,\sqrt{\Delta }=16$  

$a_1=\frac{2-16}{2\cdot 9}=\frac{-14}{18}=-\frac{7}{9}$  

$a_2=\frac{2+16}{2\cdot 9}=\frac{18}{18}=1$  

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=9a²-2a-7 są skierowane w górę, zatem:

$a\in \left(-\infty ,-\frac{7}{9}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Biorąc pod uwagę rozwiązania wszystkich nierówności otrzymujemy, że:

$a\in \left(1\frac{2}{9},+\infty \right)$