Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$a,b-$  długości przyprostokątnych

$c-$  długość przeciwprostokątnej

$r-$  promień okręgu wpisanego w trójkąt

---

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem:

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

---

---

$\text{a)}$  Mamy dane:

$a=6\text{cm}$  

$b=8\text{cm}$  

---

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$  

$6^2+8^2=c^2$  

$36+64=c^2$  

$100=c^2$  

$c=10\left[\text{cm}\right]$

---

Obliczamy  $r:$  

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

$r=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $2\text{cm}.$  

---

---

$\text{b)}$  Mamy dane:

$a=8\text{cm}$  

$b=15\text{cm}$  

---

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$  

$8^2+{15}^2=c^2$  

$64+225=c^2$  

$289=c^2$  

$c=17\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy  $r:$  

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

$r=\frac{8+15-17}{2}=\frac{6}{2}=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $3\text{cm}.$  

---

---

$\text{c)}$  Mamy dane:

$a=12\text{cm}$  

$b=5\text{cm}$  

---

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$  

${12}^2+5^2=c^2$  

$144+25=c^2$  

$169=c^2$  

$c=13\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy  $r:$  

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

$r=\frac{12+5-13}{2}=\frac{4}{2}=2\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $2\text{cm}.$  

---

---

$\text{d)}$  Mamy dane:

$a=2\sqrt{5}\text{cm}$  

$b=4\text{cm}$  

---

Obliczamy długość przeciwprostokątnej:

$a^2+b^2=c^2$  

${\left(2\sqrt{5}\right)}^2+4^2=c^2$  

$20+16=c^2$  

$36=c^2$  

$c=6\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy  $r:$  

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

$r=\frac{2\sqrt{5}+4-6}{2}=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}=\left(\sqrt{5}-1\right)\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $\left(\sqrt{5}-1\right)\text{cm}.$