a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$\left|AD\right|=3\wedge \left|DB\right|=6$  

Zauważmy, że BF jest środkową boku AC, zatem:

$\frac{\frac{1}{3}x}{3}=\frac{1}{9}x$  

$\frac{\frac{2}{3}x}{6}=\frac{2}{18}x=\frac{1}{9}x$  

więc:

$\frac{\frac{1}{3}x}{3}=\frac{\frac{2}{3}x}{6}$  

Czyli na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wiemy, że:

$AF\text{||}DS$  

więc:

$AC\text{||}DS$  

 

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczmy długość odcinka h:

$h^2+{1,5}^2={4,5}^2$  

$h^2+2,25=20,25$  

$h^2=18$  

$h=3\sqrt{2}$  

 

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczmy długość odcinka a:

$3^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=a^2$  

$9+18=a^2$  

$a^2=27$  

$a=3\sqrt{3}$  

zatem:

$\left|AF\right|=\frac{a}{2}=\left(3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$  

 

Obliczmy długość odcinka DS:

$\frac{\left|AF\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|DS\right|}{\left|DB\right|}$  

$\frac{3\frac{\sqrt{3}}{2}}{3+6}=\frac{\left|DS\right|}{6}$  

$\frac{3\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}=\frac{\left|DS\right|}{6}$  

$6\left(3\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=9\left|DS\right|$  

$9\sqrt{3}=9\left|DS\right|$  

$\left|DS\right|=\sqrt{3}$  

c.n.w.

---

b) Sprawdźmy czy stosunki odpowiednich boków byłyby równe jeśli:

$\left|AD\right|=1\wedge \left|DB\right|=4$  

$\frac{\frac{1}{3}x}{1}=\frac{1}{3}x$  

$\frac{\frac{2}{3}x}{4}=\frac{2}{12}x=\frac{1}{6}x$  

więc:

$\frac{\frac{1}{3}x}{1}\ne \frac{\frac{2}{3}x}{4}$  

Zatem zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Talesa odcinki AC i DS nie są równoległe.