a)

$7-2{\left(x-2\right)}^2\ge 5x$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnic

$7-2\left(x^2-4x+4\right)\ge 5x$  

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę nierówności.

$7-2x^2+8x-8-5x\ge 0$  

$-2x^2+3x-1\ge 0$  

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=-2x^2+3x-1$  

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-1\right)=9-8=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-3-1}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-4}{-4}=1$  

$x_2=\frac{-3+1}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$  

Naszkicujemy wykres funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.

$x\in ⟨\frac{1}{2},1⟩$  

---

b)

$2x^2+9\le 6\sqrt{2}x$

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę nierówności. 

$2x^2-6\sqrt{2}x+9\le 0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji  $f\left(x\right)=2x^2-6\sqrt{2}x+9$  

$\Delta ={\left(-6\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 2\cdot 9=72-72=0,\sqrt{\Delta }=0$  

$x_0=\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

Naszkicujemy wykres funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.

$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

---

c)

$3x\left(3x-4\right)<4\left(4-3x\right)$  

Zapisujemy powyższe iloczyny jako sumę kilku składników.

$9x^2-12x<16-12x$  

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę nierówności.

$9x^2-16<0$  

$\left(3x-4\right)\left(3x+4\right)<0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji  $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(3x+4\right)$  

$x_1=\frac{4}{3}$  

$x_2=-\frac{4}{3}$  

Naszkicujemy wykres funkcji f:

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności.

$x\in \left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$  

---

d)

$\frac{x-\frac{x^2+2x}{3}}{2}<x+2$  

Upraszczamy powyższą nierówność.

$\frac{\frac{3x}{3}-\frac{x^2+2x}{3}}{2}<x+2$  

$\frac{\frac{3x-x^2-2x}{3}}{2}<x+2$  

$\frac{\frac{-x^2+x}{3}}{2}<x+2$  

$\frac{-x^2+x}{6}<x+2$  

$-x^2+x<6x+12$  

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę nierówności.

$-x^2-5x-12<0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji  $f\left(x\right)=-x^2-5x-12$  :

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-12\right)=25-48<0$  

Funkcja f nie ma miejsc zerowych oraz współczynnik kierunkowy we wzorze tej funkcji jest liczbą ujemną, zatem wykres funkcji f znajduje się w całości pod osią OX, więc podana nierówność jest spełniona dla:

$x\in \mathbb{R}$