a) x4−12=x2
Stosujemy podstawienie:
x2=t,t≥0
t2−12=t
t2−t−12=0
Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49, Δ=7
t1=21−7=2−6=−3<0
t2=21+7=28=4>0
zatem:
x2=4
x=2 ∨ x=−2
Rozwiązania tego równania to:
{−2,2}
b) (x2+1)(x2+5)=2x2+2
(x2+1)(x2+5)=2(x2+1)
(x2+1)(x2+5)−2(x2+1)=0
(x2+1)(x2+5−2)=0
(x2+1)(x2+3)=0
To równanie jest sprzeczne, ponieważ:
x2=−1 ∧ x2=−3
c) x3(x3−7)=8
Stosujemy podstawienie:
x3=t
t⋅(t−7)=8
t2−7t−8=0
Δ=(−7)2−4⋅1⋅(−8)=49+32=81, Δ=9
t1=27−9=2−2=−1
t2=27+9=216=8
zatem:
x3=−1 ∨ x3=8
x=−1 ∨ x=2
Rozwiązania tego równania to:
{−1,2}
d) x4+8=9x2
Stosujemy podstawienie:
x2=t,t≥0
t2+8=9t
t2−9t+8=0
Δ=(−9)2−4⋅1⋅8=81−32=49, Δ=7
t1=29−7=22=1
t2=29+7=216=8
zatem:
x2=1 ∨ x2=8
x=−1 ∨ x=1 ∨ x=22 ∨ x=−22
Rozwiązania tego równania to:
{−22,−1,1,22}
e) (x3+1)2=81x6
Stosujemy podstawienie:
x3=t
(t+1)2=81t2
t2+2t+1=81t2
−80t2+2t+1=0
Δ=22−4⋅(−80)⋅1=4+320=324 Δ=18
t1=2⋅(−80)−2−18=−160−20=81
t2=2⋅(−80)−2+18=−16016=−101
zatem:
x3=81 ∨ x3=−101
x=21 ∨ x=−3101
Rozwiązania tego równania to:
{−3101,21}
f) 10x6−7x3+1=0
Stosujemy podstawienie:
x3=t
10t2−7t+1=0
Δ=(−7)2−4⋅10⋅1=49−40=9 Δ=3
t1=2⋅107−3=204=51
t2=2⋅107+3=2010=21
zatem:
x3=51 ∨ x3=21
x=351 ∨ x=321
Rozwiązania tego równania to:
{351,321}
