Korzystamy z następującego twierdzenia:

Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu $W\left(x\right)$   są liczbami całkowitymi i wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastek całkowity, to pierwiastek ten znajduje się w zbiorze dzielników wyrazu wolnego tego wielomianu.

 

$a\text{)}W\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(6\right)=6^3+4\cdot 6^2+6-6=360$  

$W\left(3\right)=3^3+4\cdot 3^2+3-6=60$  

$W\left(2\right)=2^3+4\cdot 2^2+2-6=20$  

$W\left(1\right)=1^3+4\cdot 1^2+1-6=0$

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x-1$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$1$	$4$	$1$	$-6$
$1$		$1$	$5$	$6$
	$1$	$5$	$6$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x-1$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=x^2+5x+6$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)$  

Odp.: Pierwiastki całkowite wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $1,-3,-2$  

---

$b\text{)}W\left(x\right)=2x^3-2x^2-2x-4$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(-4\right)=2\cdot {\left(-4\right)}^3-2\cdot {\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)-4=-128-32+8-4=-156$  

$W\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-4=-16-8+4-4=-24$  

$W\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)-4=-2-2+2-4=-6$  

$W\left(1\right)=2\cdot 1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1-4=2-2-2-4=-6$

$W\left(2\right)=2\cdot 2^3-2\cdot 2^2-2\cdot 2-4=16-8-4-4=0$

Liczba  $2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x-2$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$2$	$-2$	$-2$	$-4$
$2$		$4$	$4$	$4$
	$2$	$2$	$2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x-2$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=2x^2+2x+2$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta =2^2-4\cdot 2\cdot 2=4-16=-12<0$  

Wielomian  $P\left(x\right)$  nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+2x+2\right)$  

Odp.: Jedynym pierwiastkiem całkowitym wielomianu  $W\left(x\right)$  jest liczba :  $2$  

---

$c\text{)}W\left(x\right)=x^3-5x^2-2x+5$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-5,-1,1,5\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(-5\right)=2\cdot {\left(-5\right)}^3-5\cdot {\left(-5\right)}^2-2\cdot \left(-5\right)+5=-250-125+10+5=-360$  

$W\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3-5\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)+5=-2-5+2+5=0$  

Liczba  $-1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x+1$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$2$	$-5$	$-2$	$5$
$-1$		$-2$	$7$	$-5$
	$2$	$-7$	$5$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x+1$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=2x^2-7x+5$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 2\cdot 5=49-40=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{7-3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$  

$x_2=\frac{7+3}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$  

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-\frac{5}{2}\right)$  

Odp.: Pierwiastki całkowite wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $1,-1$  

---

$d\text{)}W\left(x\right)=3x^3+7x^2-4$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(-4\right)=3\cdot {\left(-4\right)}^3+7\cdot {\left(-4\right)}^2-4=-192+112-4=-84$  

$W\left(-2\right)=3\cdot {\left(-2\right)}^3+7\cdot {\left(-2\right)}^2-4=-24+28-4=0$  

Liczba  $-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x+2$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$3$	$7$	$0$	$-4$
$-2$		$-6$	$-2$	$4$
	$3$	$1$	$-2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x+2$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=3x^2+x-2$  

Sprawdźmy czy wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta =1^2-4\cdot 3\cdot \left(-2\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-1-5}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1$  

$x_2=\frac{-1+5}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$  

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=3\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$  

Odp.: Pierwiastki całkowite wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $-2,-1$  

---

$e\text{)}W\left(x\right)=x^4+x^3-11x^2-9x+18$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-18,-6,-9,-3,-2,-1,1,2,3,6,9,18\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(-18\right)={\left(-18\right)}^4+{\left(-18\right)}^3-11\cdot {\left(-18\right)}^2-9\cdot \left(-18\right)+18=104976-5832-3564+162+18=95760$  

$W\left(-9\right)={\left(-9\right)}^4+{\left(-9\right)}^3-11\cdot {\left(-9\right)}^2-9\cdot \left(-9\right)+18=6561-729-891+81+18=5040$  

$W\left(-6\right)={\left(-6\right)}^4+{\left(-6\right)}^3-11\cdot {\left(-6\right)}^2-9\cdot \left(-6\right)+18=1296-216-396+54+18=756$  

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^4+{\left(-3\right)}^3-11\cdot {\left(-3\right)}^2-9\cdot \left(-3\right)+18=81-27-99+27+18=0$

Liczba  $-3$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x+3$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$1$	$1$	$-11$	$-9$	$18$
$-3$		$-3$	$6$	$15$	$-18$
	$1$	$-2$	$-5$	$6$	$0$

 

 W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x+3$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6$  

Wielomian  $P\left(x\right)$  ma współczynniki całkowite, zatem ponownie możemy skorzystać z twierdzenia szukając jego pierwiastków.

Jeśli pierwiastki wielomianu  $P\left(x\right)$  istnieją to zawierają się w zbiorze:

$\left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$   

Wiemy, że:

$W\left(-6\right)\ne 0\Rightarrow P\left(-6\right)\ne 0$  

$P\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3-2\cdot {\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)+6=-27-18-15+6=-54$  

$P\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\cdot \left(-2\right)+6=-8-8+10+6=0$

Liczba  $-2$  jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x+2$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$1$	$-2$	$-5$	$6$
$-2$		$-2$	$8$	$-6$
	$1$	$-4$	$3$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $P\left(x\right)$  przez dwumian  $x+2$  otrzymaliśmy wielomian:

$Q\left(x\right)=x^2-4x+3$  

Sprawdźmy czy wielomian  $Q\left(x\right)$  ma pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$  

Odp.: Pierwiastki całkowite wielomianu  $W\left(x\right)$  to:  $-3,-2,1,3$  

---

$f\text{)}W\left(x\right)=5x^4+15x^3-19x^2+3x-4$  

Jeśli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki całkowite to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  :

$W\left(-4\right)=5\cdot {\left(-4\right)}^4+15\cdot {\left(-4\right)}^3-19\cdot {\left(-4\right)}^2+3\cdot \left(-4\right)-4=1280-960-304-12-4=0$  

Liczba  $-4$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x+4$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$5$	$15$	$-19$	$3$	$-4$
$-4$		$-20$	$20$	$-4$	$4$
	$5$	$-5$	$1$	$-1$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)$  przez dwumian  $x+4$  otrzymaliśmy wielomian:

$P\left(x\right)=5x^3-5x^2+x-1$  

Wielomian  $P\left(x\right)$  ma współczynniki całkowite, zatem ponownie możemy skorzystać z twierdzenia szukając jego pierwiastków.

Jeśli pierwiastki wielomianu  $P\left(x\right)$  istnieją to zawierają się w zbiorze:

$\left\{-1,1\right\}$    

$P\left(-1\right)=5\cdot {\left(-1\right)}^3-5\cdot {\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)-1=-5-5-1-1=-12$  

$P\left(1\right)=5\cdot 1^3-5\cdot 1^2+1-1=5-5+1-1=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right)$  , zatem jest on podzielny przez dwumian  $x-1$

Wykonajmy dzielenie za pomocą schematu Hornera:

	$5$	$-5$	$1$	$-1$
$1$		$5$	$0$	$1$
	$5$	$0$	$1$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $P\left(x\right)$  przez dwumian  $x+1$  otrzymaliśmy wielomian:

$Q\left(x\right)=5x^2+1$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem wielomian  $Q\left(x\right)$  nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wielomian  $P\left(x\right)$  nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać w następujący sposób:

$W\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x-1\right)\left(5x^2+1\right)$  

Odp.: Jedynymi pierwiastkami całkowitymi wielomianu  $W\left(x\right)$   są liczby :  $-4,1$