$\text{a)}$  

$W\left(x\right)\cdot F\left(x\right)-H\left(x\right)=\left(-3x+5\right)\left(x^2+bx+c\right)-\left(-3x^3-x^2-2x+20\right)=$  

$=-3x^3+5x^2-3b{x}^2+5bx-3cx+5c+3x^3+x^2+2x-20=$  

$=\left(6-3b\right)x^2+\left(5b-3c+2\right)x+5c-20$  

Chcemy, by powyższy wielomian był wielomianem zerowym.

Będzie tak, jeżeli wszystkie współczynniki przy zmiennej  $x$  będą równe  $0,$  czyli:

$\{\begin{array}{l}6-3b=0\\ 5b-3c+2=0\\ 5c-20=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3b=6\text{/}:3\\ 5b-3c+2=0\\ 5c=20\text{/}:5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ 5b-3c+2=0\\ c=4\end{array}$  

Wstawiamy wyznaczone  $b,c$  do trzeciego równania i sprawdzamy, czy jest ono prawdziwe. 

$\{\begin{array}{l}b=2\\ 5\cdot 2-3\cdot 4+2=0\\ c=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ 10-12+2=0\\ c=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ 0=0\\ c=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ c=4\end{array}$  

Odp.  $b=2,c=4.$  

 

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)\cdot F\left(x\right)-H\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(x^2+bx+c\right)-\left(2x^3+7x^2-13x-3\right)=$  

$=2x^3-3x^2+2b{x}^2-3bx+2cx-3c-2x^3-7x^2+13x+3=$  

$=\left(2b-10\right)x^2+\left(13-3b+2c\right)x+3-3c$  

Chcemy, by powyższy wielomian był wielomianem zerowym.

Będzie tak, jeżeli wszystkie współczynniki przy zmiennej  $x$  będą równe  $0,$  czyli:

$\{\begin{array}{l}2b-10=0\\ 13-3b+2c=0\\ 3-3c=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2b=10\text{/}:2\\ 13-3b+2c=0\\ 3c=3\text{/}:3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 13-3b+2c=0\\ c=1\end{array}$  

Wstawiamy wyznaczone  $b,c$  do trzeciego równania i sprawdzamy, czy jest ono prawdziwe. 

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 13-3\cdot 5+2=0\\ c=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 13-15+2=0\\ c=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 0=0\\ c=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ c=1\end{array}$  

Odp.  $b=5,c=1.$