Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$P=48{\text{cm}}^2$  

$\sin \alpha =\frac{h_a}{b}$  

$0,8=\frac{h_a}{b}$  

więc:

$\frac{h_a}{b}=\frac{4}{5}$  

$h_a=\frac{4}{5}b$  

---

---

a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy h_a:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(h_a\right)}^2=b^2$  

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}b\right)}^2=b^2$

$\frac{1}{4}{a}^2+\frac{16}{25}{b}^2=b^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2=\frac{9}{25}{b}^2\mid \cdot 4$  

$a^2=\frac{36}{25}{b}^2$  

$a=\frac{6}{5}b$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy b:

$P=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin \alpha$  

$48=\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{5}b\cdot b\cdot 0,8$  

$48=\frac{3}{5}\cdot b^2\cdot \frac{4}{5}$  

$48=\frac{12}{25}{b}^2\mid :12$  

$4=\frac{1}{25}{b}^2$  

$b^2=100$  

$b=10\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczmy długość odcinka a:

$a=\frac{6}{5}\cdot 10=6\cdot 2=12\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy obwód trójkąta:

$O=a+2b$  

$O=12+2\cdot 10=32\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.

---

---

b) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

$P=\frac{1}{2}O\cdot r$  

$48=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot r$  

$48=16r\mid :16$  

$r=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.