a) Wyznaczmy współrzędne punktów A i B:

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ x-y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ x+3=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ x+3=x^2-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ 0=x^2-x-6\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$x^2-x-6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_A=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_B=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

zatem:

$y_A={\left(-2\right)}^2-3=4-3=1$  

$y_B=3^2-3=9-3=6$  

więc:

$A\left(-2,1\right),B\left(3,6\right)$  

---

b) Wyznaczmy współrzędne punktów C i D:

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ y+2x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ y=-2x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ -2x=x^2-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ 0=x^2+2x-3\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$x^2+2x-3=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$x_C=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_D=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

zatem:

$y_C={\left(-3\right)}^2-3=9-3=6$  

$y_D=1^2-3=1-3=-2$  

więc:

$C\left(-3,6\right),D\left(1,-2\right)$  

---

c) Wyznaczmy punkt przecięcia prostych AB i CD:

(czyli prostych k i m)

$\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ y+2x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x-\left(-2x\right)+3=0\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+2x+3=0\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x+3=0\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x=-3\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\cdot \left(-1\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$

Ten punkt wspólny ma współrzędne:

$\left(-1,2\right)$  

 

Wyznaczmy współrzędne środka odcinka CD:

$x_{S_{CD}}=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$y_{S_{CD}}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$  

więc:

$S_{CD}=\left(-1,2\right)$  

zatem odcinki AB i CD przecinają się w środku odcinka CD.

c.n.w.