Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

a) Długości krawędzi prostopadłościanu muszą być liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$x>0\text{i}x-2>0$  

$x>0\text{i}x>2$  

$x>2$  

Zatem:

$D=\left(2,+\infty \right)$  

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

$V\left(x\right)=x^2\cdot \left(x-2\right)=x^3-2x^2$  

---

---

b) Sprawdzamy, kiedy objętość wielomianu jest większa od 32:

$V\left(x\right)>32$  

$x^3-2x^2>32$  

$x^3-2x^2-32>0$  

$x^3-4x^2+2x^2-32>0$  

$x^2\left(x-4\right)+2\left(x^2-16\right)>0$  

$x^2\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)\left(x+4\right)>0$  

$\left(x-4\right)\left[x^2+2\left(x+4\right)\right]>0$  

$\left(x-4\right)\left(x^2+2x+8\right)>0$  

x²+2x+8>0, ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni oraz Δ=4-32<0. Możemy więc bezpiecznie podzielić obie strony nierówności przez ten trójmian.

$\left(x-4\right)\left(x^2+2x+8\right)>0\mid :\left(x^2+2x+8\right),x^2+2x+8>0$  

$x-4>0$  

$x>4$  

$x\in \left(4,+\infty \right)$