Jeżeli w rozkładzie wielomianu w na czynniki występuje czynnik (x-a)k i nie występuje czynnik (x-a)k+1, gdzie k ∈ N+, to liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu w.

---

$\text{a)}w\left(x\right)=x^4-x^3-3x^2+5x-2$  

Sprawdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w:

$w\left(1\right)=1-1-3+5-2=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, wiec wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie w:(x-1), stosując schemat Hornera.

	1	-1	-3	5	-2
1		1	0	-3	2
	1	0	-3	2	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^3-3x+2$  

Oznaczmy:

$q\left(x\right)=x^3-3x+2$  

Sprawdzamy, czy liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu q:

$q\left(1\right)=1-3+2=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu q, wiec wielomian q jest podzielny przez dwumian x-1.

Wykonujemy dzielenie q:(x-1), stosując schemat Hornera.

	1	0	-3	2
1		1	1	-2
	1	1	-2	0

---

Otrzymujemy:

$q\left(x\right):\left(x-1\right)=x^2+x-2$  

Oznaczmy:

$p\left(x\right)=x^2+x-2$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu p:

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2\text{lub}x=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem:

$p\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)$  

$q\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot p\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)$  

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot q\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)={\left(x-1\right)}^3\left(x+2\right)$  

W rozkładzie wielomianu w na czynniki występuje czynnik (x-1)³ i nie występuje czynnik (x-1)⁴, więc liczba 1 jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu w.

---

---

$\text{b)}w\left(x\right)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$  

Sprawdzamy, że liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w:

$w\left(-1\right)=1+4\cdot \left(-1\right)+6\cdot 1+4\cdot \left(-1\right)+1=1-4+6-4+1=0$  

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, wiec wielomian w jest podzielny przez dwumian x+1.

Wykonujemy dzielenie w:(x+1), stosując schemat Hornera.

	1	4	6	4	1
-1		-1	-3	-3	-1
	1	3	3	1	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^3+3x^2+3x+1={\left(x+1\right)}^3$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot {\left(x+1\right)}^3={\left(x+1\right)}^4$  

W rozkładzie wielomianu w na czynniki występuje czynnik (x+1)⁴ i nie występuje czynnik (x+1)⁵, więc liczba -1 jest pierwiastkiem czterokrotnym wielomianu w.

---

---

$\text{c)}w\left(x\right)=2x^6-4x^5+x-2$  

Sprawdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w:

$w\left(2\right)=2\cdot 64-4\cdot 32+2-2=128-128=0$  

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, wiec wielomian w jest podzielny przez dwumian x-2.

Wykonujemy dzielenie w:(x-2), stosując schemat Hornera.

	2	-4	0	0	0	1	-2
2		4	0	0	0	0	2
	2	0	0	0	0	1	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-2\right)=2x^5+1$  

Oznaczmy:

$q\left(x\right)=2x^5+1$  

Sprawdzamy, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu q:

$q\left(2\right)=2\cdot 32+1=64+1=65\ne 0$  

Liczba 2 nie jest pierwiastkiem wielomianu q, więc 2 jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu w.