Oznaczmy:

2k+1, 2k+3, 2k+5, 2k+7 - cztery kolejne liczby całkowite nieparzyste, k ∈ Z

---

Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest równy 945, więc:

$\left(2k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+5\right)\left(2k+7\right)=945$  

$\left(4k^2+6k+2k+3\right)\left(4k^2+14k+10k+35\right)=945$  

$\left(4k^2+8k+3\right)\left(4k^2+24k+35\right)=945$  

$16k^4+96k^3+140k^2+32k^3+192k^2+280k+12k^2+72k+105=945$  

$16k^4+128k^3+344k^2+352k+105=945$  

$16k^4+128k^3+344k^2+352k-840=0\mid :8$  

$2k^4+16k^3+43k^2+44k-105=0$  

---

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(k\right)=2k^4+16k^3+43k^2+44k-105$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników liczby 105 jest pierwiastkiem wielomianu w:

$w\left(1\right)=2+16+43+44-105=0$  

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian k-1.

Wykonujemy dzielenie w:(k-1), stosując schemat Hornera.

	2	16	43	44	-105
1		2	18	61	105
	2	18	61	105	0

---

Otrzymujemy:

$w\left(k\right):\left(k-1\right)=2k^3+18k^2+61k+105$  

Oznaczmy:

$q\left(k\right)=2k^3+18k^2+61k+105$  

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników liczby 105 jest pierwiastkiem wielomianu q:

$q\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3+18\cdot {\left(-1\right)}^2+61\cdot \left(-1\right)+105=-2+18-61+105\ne 0$  

$q\left(-3\right)=2\cdot {\left(-3\right)}^3+18\cdot {\left(-3\right)}^2+61\cdot \left(-3\right)+105=2\cdot \left(-27\right)+18\cdot 9-189+105=-54+162-183+105\ne 0$  

$q\left(-5\right)=2\cdot {\left(-5\right)}^3+18\cdot {\left(-5\right)}^2+61\cdot \left(-5\right)+105=2\cdot \left(-125\right)+18\cdot 25-305+105=-250+450-305+105=0$

Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu q, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian k+5.

Wykonujemy dzielenie q:(k+5), stosując schemat Hornera.

	2	18	61	105
-5		-10	-40	-105
	2	8	21	0

---

Otrzymujemy:

$q\left(k\right):\left(k+5\right)=2k^2+8k+21$  

Trójmian 2k²+8k+21 nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta =64-168<0$  

Zatem:

$q\left(k\right)=\left(k+5\right)\left(2k^2+8k+21\right)$  

$w\left(k\right)=\left(k-1\right)\cdot q\left(k\right)=\left(k-1\right)\left(k+5\right)\left(2k^2+8k+21\right)$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby -5, 1.

---

Obliczamy średnią arytmetyczną szukanych liczb dla k=-5:

$\frac{2k+1+2k+3+2k+5+2k+7}{4}=\frac{8k+16}{4}=2k+4=2\cdot \left(-5\right)+4=-10+4=-6$  

Obliczamy średnią arytmetyczną szukanych liczb dla k=1:

$\frac{2k+1+2k+3+2k+5+2k+7}{4}=\frac{8k+16}{4}=2k+4=2\cdot 1+4=2+4=6$  

---

Odp. Średnia arytmetyczna szukanych liczb jest równa -6 lub 6.