Dla jakich wartości parametru...- Zadanie 10: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) - x^{2} + 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

$a = - 1, b = 2 m, c = m^{2} - 1$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂, gdy:

$(1) Δ > 0$

$(2 m)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (m^{2} - 1) > 0$

$4 m^{2} + 4 m^{2} - 4 > 0$

$8 m^{2} > 4 ∣ : 8$

$m^{2} > \frac{1}{2}$

$m^{2} > \frac{2}{4} ∣$

$∣ m ∣ > \frac{2}{2}$

$m > \frac{2}{2} lub m < - \frac{2}{2}$

$m \in (- \infty, - \frac{2}{2}) \cup (\frac{2}{2}, + \infty)$

Pierwiastki równania mają te same znaki, gdy:

$(2) x_{1} x_{2} > 0$

Ze wzoru Viete'a:

$\frac{c}{a} > 0$

$\frac{m ^{2} - 1}{- 1} > 0 ∣ \cdot (- 1)$

$m^{2} - 1 < 0$

$m^{2} < 1 ∣$

$∣ m ∣ < 1$

$m < 1 i m > - 1$

$m \in (- 1, 1)$

Pierwiastki równania są dodatnie, gdy zachodzi warunek (2) oraz:

$(3) x_{1} + x_{2} > 0$

Ze wzoru Viete'a:

$- \frac{b}{a} > 0$

$\frac{- 2 m}{- 1} > 0$

$2 m > 0 ∣ : 2$

$m > 0$

$m \in (0, + \infty)$

Pierwiastki równania są ujemne, gdy zachodzi warunek (2) oraz:

$(4) x_{1} + x_{2} < 0$

Ze wzoru Viete'a:

$- \frac{b}{a} < 0$

$\frac{- 2 m}{- 1} < 0$

$2 m < 0 ∣ : 2$

$m < 0$

$m \in (- \infty, 0)$

Równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1), (2) i (3):

$(1) m \in (- \infty, - \frac{2}{2}) \cup (\frac{2}{2}, + \infty) i (2) m \in (- 1, 1) i (3) m \in (0, + \infty)$

$\underline{m \in (\frac{2}{2}, 1)}$

Równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1), (2) i (4):

$(1) m \in (- \infty, - \frac{2}{2}) \cup (\frac{2}{2}, + \infty) i (2) m \in (- 1, 1) i (4) m \in (- \infty, 0)$

$\underline{m \in (- 1, - \frac{2}{2})}$

$b) 2 x^{2} + (2 - m) x + m = 0$

$a = 2, b = 2 - m, c = m$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂, gdy:

$(1) Δ > 0$

$(2 - m)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot m > 0$

$4 - 4 m + m^{2} - 8 m > 0$

$m^{2} - 12 m + 4 > 0 ∣ + 32$

$m^{2} - 12 m + 36 > 32$

$(m - 6)^{2} > 32 ∣$

$∣ m - 6 ∣ > 42$

$m - 6 > 42 lub m - 6 < - 42$

$m > 6 + 42 lub m < 6 - 42$

$m \in (- \infty, 6 - 42) \cup (6 + 42, + \infty)$

Pierwiastki równania mają te same znaki, gdy:

$(2) x_{1} x_{2} > 0$

Ze wzoru Viete'a:

$\frac{c}{a} > 0$

$\frac{m}{2} > 0 ∣ \cdot 2$

$m > 0$

$m \in (0, + \infty)$

Pierwiastki równania są dodatnie, gdy zachodzi warunek (2) oraz:

$(3) x_{1} + x_{2} > 0$

Ze wzoru Viete'a:

$- \frac{b}{a} > 0$

$- \frac{2 - m}{2} > 0 ∣ \cdot 2$

$m - 2 > 0$

$m > 2$

$m \in (2, + \infty)$

Pierwiastki równania są ujemne, gdy zachodzi warunek (2) oraz:

$(4) x_{1} + x_{2} < 0$

Ze wzoru Viete'a:

$- \frac{b}{a} < 0$

$- \frac{2 - m}{2} < 0 ∣ \cdot 2$

$m - 2 < 0$

$m < 2$

$m \in (- \infty, 2)$

Mamy:

$6 - 42 \approx 0, 3$

$6 + 42 \approx 11, 7$

Równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1), (2) i (3):

$(1) m \in (- \infty, 6 - 42) \cup (6 + 42, + \infty) i (2) m \in (0, + \infty) i (3) m \in (2, + \infty)$

$\underline{m \in (6 + 42, + \infty)}$

Równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1), (2) i (4):

$(1) m \in (- \infty, 6 - 42) \cup (6 + 42, + \infty) i (2) m \in (0, + \infty) i (4) m \in (- \infty, 2)$

$\underline{m \in (0, 6 - 42)}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania kwadratowe

13:14

Zobacz lekcję

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Premium

9:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.