$\text{a)}f\left(x\right)=2^{x+1}$  

$g\left(x\right)=32\cdot 2^{-x}=2^5\cdot 2^{-x}=2^{-x+5}$  

Oznaczmy:

$h\left(x\right)=2^x,D_h=\left(0,+\infty \right)$  

$g_1\left(x\right)=2^{x+5}$  

---

Szkicujemy wykres funkcji y=h(x).

---

Wykres funkcji h przesuwamy o wektor [-1, 0] - otrzymujemy wykres funkcji f.

Wykres funkcji h przesuwamy o wektor [-5, 0] - otrzymujemy wykres funkcji g₁.

---

Wykres funkcji g₁ przekształcamy przez symetrię względem osi Y - otrzymujemy wykres funkcji g.

---

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g są symetryczne względem prostej x=2.

Zatem:

$c=2$  

---

---

$\text{b)}f\left(x\right)=81\cdot 3^x=3^4\cdot 3^x=3^{x+4}$  

$g\left(x\right)=\frac{81}{3^x}=\frac{3^4}{3^x}=3^{4-x}=3^{-x+4}$  

Otrzymaliśmy, że:

$f\left(-x\right)=g\left(x\right)$  

Zatem wykresy funkcji f i g są symetryczne względem osi Y, czyli względem prostej x=0. Stąd:

$c=0$  

---

---

$\text{c)}f\left(x\right)={\log }_{2}8x={\log }_{2}8+{\log }_{2}x=3+{\log }_{2}x$  

$g\left(x\right)=3\left(1+{\log }_8\left(-x\right)\right)=3\left(1+\frac{{\log }_2\left(-x\right)}{{\log }_{2}8}\right)=3\left(1+\frac{{\log }_2\left(-x\right)}{3}\right)=3+{\log }_2\left(-x\right)$  

Otrzymaliśmy, że:

$f\left(-x\right)=g\left(x\right)$  

Zatem wykresy funkcji f i g są symetryczne względem osi Y, czyli względem prostej x=0. Stąd:

$c=0$  

---

---

$\text{d)}f\left(x\right)={\log }_{0,5}\left(x-1\right)=f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)$  

$g\left(x\right)={\log }_2\frac{1}{5-x}=-{\log }_2\left(5-x\right)=-{\log }_2\left(-x+5\right)$  

Oznaczmy:

$f_1\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x,D_{f_1}=\left(0,+\infty \right)$  

$g_1\left(x\right)={\log }_{2}x,D_{g_1}=\left(0,+\infty \right)$  

$g_2\left(x\right)={\log }_2\left(x+5\right)$  

---

Szkicujemy wykresy funkcji y=f₁(x) i y=g₁(x) we wspólnym układzie współrzędnych.

---

Wykres funkcji f₁ przesuwamy o wektor [1, 0] - otrzymujemy wykres funkcji f.

Wykres funkcji g₁ przesuwamy o wektor [-5, 0] - otrzymujemy wykres funkcji g₂.

---

Wykres funkcji g₂ przekształcamy przez symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wykres funkcji g.

---

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g są symetryczne względem prostej x=3.

Zatem:

$c=3$