Aby z wykresu funkcji y=f(x) otrzymać wykres funkcji y=|f(x)|, wystarczy: tę część wykresu, która leży nad osią X lub na niej, pozostawić bez zmian, tę część wykresu, która leży poniżej osi X, przekształcić przez symetrię osiową względem osi X. Aby z wykresu funkcji y=f(x) otrzymać wykres funkcji y=f(|x|), wystarczy: tę część wykresu funkcji y=f(x), która odpowiada argumentom nieujemnym, pozostawić bez zmian, otrzymaną w punkcie 1. część wykresu odbić symetrycznie względem osi Y, wyznaczyć zbiór będący sumą wykresów znalezionych w punktach 1. i 2.

---

Chcąc określić liczbę miejsc zerowych funkcji h, należy rozwiązać równanie:

$h\left(x\right)=0$  

$f\left(x\right)-m=0$  

$f\left(x\right)=m$  

$\left|{\left(\frac{1}{2}\right)}^{|x|-2}-2\right|=m$  

Rozwiążemy równanie graficznie.

---

Oznaczmy:

$f_1\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  

$f_2\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}-2$  

$f_3\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{|x|-2}-2$  

---

Szkicujemy wykres funkcji y=f₁(x).

---

Wykres funkcji f₁ przesuwamy o wektor [2, -2] - otrzymujemy wykres funkcji y=f₂(x).

---

Na podstawie wykresu funkcji f₂ szkicujemy wykres funkcji f₃(x)=f₂(|x|).

---

Na podstawie wykresu funkcji f₃ szkicujemy wykres funkcji f(x)=|f₃(x)|.

---

Równanie f(x)=m ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma prosta y=m z wykresem funkcji f.

Z rysunku odczytujemy liczbę rozwiązań równania f(x)=m w zależności od wartości parametru m:

• $0\text{dla}m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  
• $1\text{dla}m=2$  
• $2\text{dla}m=0$  
• $4\text{dla}m\in \left(0,2\right)$  

---

Funkcja g liczbie m przypisuje liczbę miejsc zerowych funkcji h, czyli liczbę rozwiązań równania f(x)=m. Stąd:

$g\left(m\right)=\{\begin{array}{l}0\text{dla}m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)\\ 1\text{dla}m=2\\ 2\text{dla}m=0\\ 4\text{dla}m\in \left(0,2\right)\end{array}$  

Ze wzoru funkcji g odczytujemy, że funkcja g przyjmuje największą wartość (równą 4) dla

$m\in \left(0,2\right)$