a) Wyznaczamy elementy zbioru A:

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2-4x}\le 2$  

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2\left(1-2x\right)}\le 2$  

${\left(\frac{2}{4}\right)}^{1-2x}\le 2$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1-2x}\le 2$  

$\left(2^{-1}\right)\left(1-2x\right)\le 2$  

$2^{-1+2x}\le 2^1$  

Funkcja y=2^x jest rosnąca, więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$-1+2x\le 1$  

$2x\le 2\mid :2$  

$x\le 1$  

$x\in (-\infty ,1⟩$  

Zatem:

$A=(-\infty ,1⟩$  

---

Wyznaczamy elementy zbioru B:

${\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^{4x-2}\ge \frac{1}{8}$  

${\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^{2\left(2x-1\right)}\ge 2^{-3}$  

${\left(\frac{4}{2}\right)}^{2x-1}\ge 2^{-3}$  

$2^{2x-1}\ge 2^{-3}$  

Funkcja y=2^x jest rosnąca, więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$2x-1\ge -3$  

$2x\ge -2\mid :2$  

$x\ge -1$  

$x\in ⟨-1,+\infty )$  

Zatem:

$B=⟨-1,+\infty )$  

---

Otrzymaliśmy:

`A=(-oo,\ 1>>,\ B=<  

Zatem:

$A\cap B=<>$

 

Zaznaczamy zbiór A∩B na osi liczbowej:

---

---

b) Wyznaczamy elementy zbioru A:

$2^{x^2-4}<1$  

$2^{x^2-4}<2^0$  

Funkcja y=2^x jest rosnąca, więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$x^2-4<0$  

$x^2<4\mid \sqrt{}$  

$\left|x\right|<2$  

$x<2\text{i}x>-2$  

$x\in \left(-2,2\right)$  

Zatem:

$A=\left(-2,2\right)$  

---

Wyznaczamy elementy zbioru B:

$2^{x^2-1}>1$  

$2^{x^2-1}>2^0$  

Funkcja y=2^x jest rosnąca, więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$x^2-1>0$  

$x^2>1\mid \sqrt{}$  

$\left|x\right|>1$  

$x<1\text{lub}x<-1$  

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Zatem:

$B=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

---

Otrzymaliśmy:

$A=\left(-2,2\right),B=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Zatem:

$A\cap B=\left(-2,-1\right)\cup \left(1,2\right)$  

Zaznaczamy zbiór A∩B na osi liczbowej: