a) Obliczamy średnią geometryczną danych liczb, korzystając ze wzoru w ramce:

$\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 4^{\sqrt{10}+2}\cdot \frac{1}{4}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 4^{\sqrt{10}+2}\cdot 4^{-1}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 4^{\sqrt{10}+2-1}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 4^{\sqrt{10}+1}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot {\left(2^2\right)}^{\sqrt{10}+1}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 2^{2\left(\sqrt{10}+1\right)}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2}\cdot 2^{2\sqrt{10}+2}}=\sqrt[3]{2^{\sqrt{10}-2+2\sqrt{10}+2}}=\sqrt[3]{2^{3\sqrt{10}}}={\left(2^{3\sqrt{10}}\right)}^{\frac{1}{3}}=2^{\sqrt{10}}$  

---

b) Obliczamy średnią geometryczną danych liczb, korzystając ze wzoru w ramce:

$\sqrt[3]{\cancel{{\sqrt{6}}^{\sqrt{3}}}\cdot {\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\cdot \frac{6\sqrt{6}}{\cancel{{\sqrt{6}}^{\sqrt{3}}}}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\cdot 6\sqrt{6}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\cdot {\sqrt{6}}^2\cdot \sqrt{6}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\cdot {\sqrt{6}}^3}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}}\cdot \sqrt[3]{{\sqrt{6}}^3}={\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}\cdot {\left({\sqrt{6}}^3\right)}^{\frac{1}{3}}={\sqrt{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\cdot \sqrt{6}$

---

c) Obliczamy średnią geometryczną danych liczb, korzystając ze wzoru w ramce:

$\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{6+3\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{6+3\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{6+3\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\sqrt{2}}^{3\left(2+\sqrt{2}\right)}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^{-\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\left({\sqrt{2}}^3\right)}^{2+\sqrt{2}}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^{-\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\left(2\sqrt{2}\right)}^{2+\sqrt{2}}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^{-\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\left(2\sqrt{2}\right)}^{2+\sqrt{2}-\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt[3]{8}=2$