Jeśli równanie kwadratowe ax2+bx+c=0 ma pierwiastki x1, x2, to: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$   $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

---

$\text{a)}77x^2-7x-11=0$  

$a=77,b=-7,c=-11$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 77\cdot \left(-11\right)=49+4\cdot 77\cdot 11>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{7}{77}=\frac{1}{11}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-11}{77}=-\frac{1}{7}$  

---

$\text{b)}-165x^2+180x+143=0$  

$a=-165,b=180,c=143$  

$\Delta ={180}^2-4\cdot \left(-165\right)\cdot 143={180}^2+4\cdot 165\cdot 143>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-180}{-165}=\frac{12}{11}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{143}{-165}=-\frac{13}{15}$  

---

$\text{c)}0,2x^2+3x+1=0$  

$a=0,2,b=3,c=1$  

$\Delta =3^2-4\cdot 0,2\cdot 1=9-0,8>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{0,2}=-\frac{30}{2}=-15$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{0,2}=\frac{10}{2}=5$  

---

$\text{d)}-x^2+5x-1\frac{1}{4}=0$  

$a=-1,b=5,c=-1\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-\frac{5}{4}\right)=25-5=20>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-5}{-1}=5$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-\frac{5}{4}}{-1}=\frac{5}{4}$  

---

$\text{e)}\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{6}x-2=0$  

$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{6},c=-2$  

$\Delta ={\left(\frac{1}{6}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)=\frac{1}{36}+\frac{8}{3}>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{6}\cdot 3=-\frac{1}{2}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{\frac{1}{3}}=-2\cdot 3=-6$  

---

$\text{f)}2x^2-4\sqrt{5}x+4=0$  

$a=2,b=-4\sqrt{5},c=4$  

$\Delta ={\left(-4\sqrt{5}\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4=16\cdot 5-16\cdot 2>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$  

---

$\text{g)}{x}^2+2\sqrt{3}x+\sqrt{2}=0$  

$a=1,b=2\sqrt{3},c=\sqrt{2}$  

$\Delta ={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \sqrt{2}=4\cdot 3-4\cdot \sqrt{2}=4\cdot \underset{>0}{\underbrace{\left(3-\sqrt{2}\right)}}>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-2\sqrt{3}}{1}=-2\sqrt{3}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$  

---

$\text{h)}\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+x-2-\sqrt{3}=0$  

$a=2-\sqrt{3},b=1,c=-2-\sqrt{3}=-\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$\Delta =1^2-4\cdot \left(2-\sqrt{3}\right)\cdot \left[-\left(2+\sqrt{3}\right)\right]=1+4\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=1+4\left(4-3\right)=1+4\cdot 1>0$  

Δ>0, więc istnieją dwa pierwiastki x₁, x₂.

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2-\sqrt{3}}=-\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=-\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=-\left(2+\sqrt{3}\right)=-2-\sqrt{3}$  

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=-\frac{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}{4-3}=-\left(4+4\sqrt{3}+3\right)=-\left(7+4\sqrt{3}\right)=-7-4\sqrt{3}$