Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$a=3$  

$b=1$  

---

Suma kątów czworokąta wynosi 360⁰. Stąd:

$6\alpha +2\beta ={360}^{\circ }\mid :2$  

$3\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

Otrzymaliśmy, że suma miar kątów przy bokach BC i AD wynosi 180⁰. Stąd czworokąt ABCD jest trapezem, czyli AB||CD.

---

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trapez jest równoramienny, więc:

$\left|EC\right|=\left|DF\right|=\frac{a-b}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$\left|ED\right|=\frac{a+b}{2}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCE:

$h^2+{\left|EC\right|}^2=a^2$  

$h^2+1^2=3^2$  

$h^2+1=9$  

$h^2=8$  

$h=2\sqrt{2}$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BED:

$h^2+{\left|ED\right|}^2=x^2$  

$8+2^2=x^2$  

$8+4=x^2$  

$12=x^2$  

$x=2\sqrt{3}$  

---

Obliczamy sinus kąta γ:

$\sin \gamma =\frac{h}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

---

Okrąg opisany na czworokącie ABCD jest jednocześnie opisany na trójkącie BCD. 

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta BCD obliczamy promień okręgu opisanego na czworokącie:

$2R=\frac{x}{\sin \gamma }$  

$2R=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$  

$2R=2\sqrt{3}\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}$  

$2R=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$  

$2R=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$  

$2R=\frac{3\sqrt{6}}{2}\mid \cdot \frac{1}{2}$  

$R=\frac{3\sqrt{6}}{4}$  

---

---

b) Korzystając z obliczeń do poprzedniego podpunktu obliczamy pole trapezu ABCD:

$P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{3+1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4}{2}\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

---

---

c) Oznaczmy szukany kąt jako δ.

---

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AOB:

$b^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos \delta$  

$b^2=2R^2-2R^2\cos \delta$  

$b^2=2R^2\left(1-\cos \delta \right)$  

$1^2=2\cdot {\left(\frac{3\sqrt{6}}{4}\right)}^2\cdot \left(1-\cos \delta \right)$  

$1=2\cdot \frac{9\cdot 6}{16}\cdot \left(1-\cos \delta \right)$  

$1=\frac{54}{8}\cdot \left(1-\cos \delta \right)$  

$1=\frac{27}{4}\cdot \left(1-\cos \delta \right)\mid \cdot \frac{4}{27}$  

$\frac{4}{27}=1-\cos \delta$  

$\cos \delta =1-\frac{4}{27}$  

$\cos \delta =\frac{23}{27}$  

$\cos \delta \approx 0,8519$  

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną miarę kąta δ:

$\delta \approx {31,5}^{\circ }$