Twierdzenie cosinusów Dla dowolnego trójkąta (oznaczenia jak na rysunku) prawdziwe są następujące zależności: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$   $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Odcinki AE i AF dzielą romb na trzy figury o równych polach, więc w szczególności trójkąty ABE i ADF mają równe pola. Wówczas ze wzoru na pole trójkąta wynik, że |BE|=|DF|, ponieważ:

$\frac{1}{2}a\cdot \left|BE\right|\cdot \alpha =\frac{1}{2}a\cdot \left|DF\right|\cdot \alpha \mid :\frac{1}{2}a\sin \alpha$  

$\left|BE\right|=\left|DF\right|$  

Wobec tego trójkąty ABE i ADF są przystające na podstawie cechy BKB. Z przystawania tych trójkątów wynika, że:

$\left|AE\right|=\left|AF\right|$  

---

Obliczamy miarę kąta rozwartego rombu:

$\alpha ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }$  

---

Zapisujemy wzór na pole rombu:

$P_{\text{ABCD}}=a^2\cdot \sin {30}^{\circ }=a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$  

---

Wiemy, że trzy powstałe figury mają równe pola, więc każda z nich ma pole równe  $\frac{1}{3}$  pola rombu. Stąd:

$P_{\text{ABE}}=\frac{1}{3}{P}_{\text{ABCD}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{6}{a}^2$  

---

Z drugiej strony pole trójkąta ABE możemy obliczyć następująco:

$P_{\text{ABE}}=\frac{1}{2}ay\sin \alpha =\frac{1}{2}ay\cdot \sin {150}^{\circ }=\frac{1}{2}ay\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}ay\cdot \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}ay\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}ay$  

---

Porównując otrzymane wzory, dostajemy:

$\frac{1}{6}{a}^2=\frac{1}{4}ay\mid :a,a\ne 0$  

$\frac{1}{6}a=\frac{1}{4}y\mid \cdot 4$  

$\frac{2}{3}a=y$  

$y=\frac{2}{3}a$  

---

Obliczamy długość odcinka x, korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABE:

$x^2=a^2+y^2-2ay\cos \beta$    

$x^2=a^2+{\left(\frac{2}{3}a\right)}^2-2\cdot a\cdot \frac{2}{3}a\cos {150}^{\circ }$  

$x^2=\frac{9}{9}{a}^2+\frac{4}{9}{a}^2-\frac{4}{3}{a}^2\cos \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)$  

$x^2=\frac{13}{9}{a}^2-\frac{4}{3}{a}^2\cdot \left(-\cos {30}^{\circ }\right)$  

$x^2=\frac{13}{9}{a}^2-\frac{4}{3}{a}^2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$  

$x^2=\frac{13}{9}{a}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}{a}^2$   

$x^2=\frac{13}{9}{a}^2+\frac{6\sqrt{3}}{9}{a}^2$   

$x^2=\frac{1}{9}{a}^2\left(13+6\sqrt{3}\right)$  

$x=\frac{a}{3}\sqrt{13+6\sqrt{3}}$    

---

Odp. Szukane odcinki mają długość  $\frac{a}{3}\sqrt{13+6\sqrt{3}}.$