W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$r=2\text{cm}$  

---

Trapez jest opisany na okręgu, więc:

$h=2r=2\cdot 2=4\left[\text{cm}\right]$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta AED:

$\frac{h}{c}=\sin {30}^{\circ }$  

$\frac{4}{c}=\frac{1}{2}\mid \cdot 2c$  

$8=c$  

$c=8\left[\text{cm}\right]$  

---

Trapez jest opisany na okręgu, więc:

$a+b=2c$  

---

Obliczamy obwód trapezu:

$L=a+b+2c=2c+2c=4c=4\cdot 8=32\left[\text{cm}\right]$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$r=2\text{cm}$  

$p=5\text{cm}$  

---

Trapez jest opisany na okręgu, więc:

$h=2r=2\cdot 2=4\left[\text{cm}\right]$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EBD:

${\left|EB\right|}^2+h^2=p^2$  

${\left|EB\right|}^2+4^2=5^2$  

${\left|EB\right|}^2+16=25$  

${\left|EB\right|}^2=9$  

$\left|EB\right|=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Trapez jest równoramienny, więc:

$\left|EB\right|=\frac{a+b}{2}$  

$3=\frac{a+b}{2}\mid \cdot 2$  

$6=a+b$  

$a+b=6\left[\text{cm}\right]$  

---

Trapez jest opisany na okręgu, więc:

$2c=a+b$  

---

Obliczamy obwód trapezu:

$L=a+b+2c=a+b+a+b=2\left(a+b\right)=2\cdot 6=12\left[\text{cm}\right]$