Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Ponadto oznaczmy:

r - promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

---

Zapisujemy wzory na promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie ABC:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

---

Obliczamy długość okręgu wpisanego w trójkąt ABC:

$l_w=2\pi r=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}$  

Obliczamy długość okręgu opisanego ABC:

$l_o=2\pi R=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\pi \cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}$  

---

Obliczamy średnią arytmetyczną długości okręgu wpisanego w trójkąt ABC i okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\frac{l_w+l_o}{2}=\frac{\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}+\pi \cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}+\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)}{2}=$  

$=\frac{\pi \cdot \frac{3a\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{\pi \cdot a\sqrt{3}}{2}=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

---

Średnicą okręgu przedstawionego na rysunku jest wysokość trójkąta równobocznego, więc promień tego okręgu ma długość  $\frac{h}{2}.$  

Obliczamy długość tego okręgu:

$l=2\pi \cdot \frac{h}{2}=\pi \cdot h=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

---

Otrzymaliśmy:

$l=\frac{l_w+l_o}{2},$  

co należało dowieść.