Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Wystarczy więc wyznaczyć równania symetralnych dwóch boków trójkąta, a następnie znaleźć ich punkt przecięcia.

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Niech:

$k:y=a_{k}x+b_k$  

$l:y=a_{l}x+b_l$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8+6}{8+6}=1$  

Prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc:

$a_k\cdot a_{\text{AB}}=-1$  

$a_k\cdot 1=-1$  

$a_k=-1$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$k:y=-x+b_k$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_{S_{\text{AB}}}=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-6+8}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$y_{S_{\text{AB}}}=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-6+8}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem:

$S_{\text{AB}}\left(1,1\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AB(1, 1) do równania prostej k i wyznaczamy b_k:

$1=-1+b_k$  

$2=b_k$  

$b_k=2$  

Otrzymujemy:

$k:y=-x+2$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:

$a_{\text{AC}}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0+6}{-8+6}=\frac{6}{-2}=-3$  

Prosta l jest prostopadła do prostej AC, więc:

$a_l\cdot a_{\text{AC}}=-1$  

$a_l\cdot \left(-3\right)=-1\mid :\left(-3\right)$  

$a_l=\frac{1}{3}$  

Wówczas równanie prostej l przyjmuje postać:

$l:y=\frac{1}{3}x+b_l$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AC:

$x_{S_{\text{AC}}}=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-6-8}{2}=\frac{-14}{2}=-7$  

$y_{S_{\text{AC}}}=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{-6+0}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

Zatem:

$S_{\text{AC}}=\left(-7,-3\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AC(-7, -3) do równania prostej l i wyznaczamy b_l:

$-3=\frac{1}{3}\cdot \left(-7\right)+b_l$  

$-\frac{9}{3}=-\frac{7}{3}+b_l$  

$-\frac{2}{3}=b_l$  

$b_l=-\frac{2}{3}$  

Otrzymujemy:

$l:y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$  

---

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia prostych k i l, czyli współrzędne środka okręgu S.

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\mid \cdot 3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ 3y=x-2\end{array}$  

Podstawiamy y=-x+2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ 3\left(-x+2\right)=x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ -3x+6=x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ -4x=-8\mid :\left(-4\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ x=2\end{array}$  

Podstawiamy x=2 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2+2\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}$  

Zatem środek okręgu ma współrzędne:

$S\left(2,0\right)$  

---

Długość promienia okręgu jest odległością środka okręgu od jednego z wierzchołków trójkąta. 

$R=\left|BS\right|=\sqrt{{\left(x_S-x_B\right)}^2+{\left(y_S-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(8-2\right)}^2+{\left(8-0\right)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Niech:

$k:y=a_{k}x+b_k$  

$l:y=a_{l}x+b_l$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2+2}{5+3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

Prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc:

$a_k\cdot a_{\text{AB}}=-1$  

$a_k\cdot \frac{1}{2}=-1\mid \cdot 2$  

$a_k=-2$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$k:y=-2x+b_k$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_{S_{\text{AB}}}=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$y_{S_{\text{AB}}}=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0$  

Zatem:

$S_{\text{AB}}\left(1,0\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AB(1, 0) do równania prostej k i wyznaczamy b_k:

$0=-2\cdot 1+b_k$  

$0=-2+b_k$  

$2=b_k$  

$b_k=2$  

Otrzymujemy:

$k:y=-2x+2$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:

$a_{\text{AC}}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2$  

Prosta l jest prostopadła do prostej AC, więc:

$a_l\cdot a_{\text{AC}}=-1$  

$a_l\cdot 2=-1\mid :2$  

$a_l=-\frac{1}{2}$  

Wówczas równanie prostej l przyjmuje postać:

$l:y=-\frac{1}{2}x+b_l$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AC:

$x_{S_{\text{AC}}}=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$y_{S_{\text{AC}}}=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Zatem:

$S_{\text{AC}}=\left(-1,2\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AC(-1, 2) do równania prostej l i wyznaczamy b_l:

$2=-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+b_l$  

$2=\frac{1}{2}+b_l$  

$1\frac{1}{2}=b_l$  

$b_l=\frac{3}{2}$  

Otrzymujemy:

$l:y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$  

---

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia prostych k i l, czyli współrzędne środka okręgu S.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 2y=-x+3\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 2\left(-2x+2\right)=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -4x+4=-x+3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -3x=-1\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$  

Podstawiamy x=¹/₃ do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot \frac{1}{3}+2\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}+\frac{6}{3}\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}\\ x=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}$  

Zatem środek okręgu ma współrzędne:

$S\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$  

---

Długość promienia okręgu jest odległością środka okręgu od jednego z wierzchołków trójkąta. 

$R=\left|BS\right|=\sqrt{{\left(x_S-x_B\right)}^2+{\left(y_S-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(5-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(2-\frac{4}{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{15}{3}-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{6}{3}-\frac{4}{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{14}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{196}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{200}{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$  

---

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Niech:

$k:y=a_{k}x+b_k$  

$l:y=a_{l}x+b_l$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-5-1}{3+3}=\frac{-6}{6}=-1$  

Prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc:

$a_k\cdot a_{\text{AB}}=-1$  

$a_k\cdot \left(-1\right)=-1\mid \cdot \left(-1\right)$  

$a_k=1$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$k:y=x+b_k$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_{S_{\text{AB}}}=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-3+3}{2}=\frac{0}{2}=0$  

$y_{S_{\text{AB}}}=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

Zatem:

$S_{\text{AB}}\left(0,-2\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AB(0, -2) do równania prostej k i wyznaczamy b_k:

$-2=0+b_k$  

$-2=b_k$  

$b_k=-2$  

Otrzymujemy:

$k:y=x-2$  

---

Obliczamy współrzędne środka odcinka AC:

$x_{S_{\text{AC}}}=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$y_{S_{\text{AC}}}=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem:

$S_{\text{AC}}=\left(1,1\right)$  

Punkty A(-3, 1) i C(5, 1) mają tę samą drugą współrzędną, więc prosta AC jest równoległa do osi X. Wobec tego prosta l prostopadła do prostej AC jest równoległa do osi Y i przechodzi przez punkt S_AC(1, 1). Stąd:

$l:x=1$   

---

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia prostych k i l, czyli współrzędne środka okręgu S.

$\{\begin{array}{l}y=x-2\\ x=1\end{array}$  

Podstawiamy x=1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=1-2\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$  

Zatem środek okręgu ma współrzędne:

$S\left(1,-1\right)$  

---

Długość promienia okręgu jest odległością środka okręgu od jednego z wierzchołków trójkąta. 

$R=\left|BS\right|=\sqrt{{\left(x_S-x_B\right)}^2+{\left(y_S-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(-1+5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

---

---

d) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Niech:

$k:y=a_{k}x+b_k$  

$l:y=a_{l}x+b_l$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7+2}{4-1}=\frac{9}{3}=3$  

Prosta k jest prostopadła do prostej AB, więc:

$a_k\cdot a_{\text{AB}}=-1$  

$a_k\cdot 3=-1\mid :3$  

$a_k=-\frac{1}{3}$  

Wówczas równanie prostej k przyjmuje postać:

$k:y=-\frac{1}{3}x+b_k$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_{S_{\text{AB}}}=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$  

$y_{S_{\text{AB}}}=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-2+7}{2}=\frac{5}{2}$  

Zatem:

$S_{\text{AB}}\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AB(⁵/₂, ⁵/₂) do równania prostej k i wyznaczamy b_k:

$\frac{5}{2}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{2}+b_k$  

$\frac{5}{2}=-\frac{5}{6}+b_k$  

$\frac{15}{6}=-\frac{5}{6}+b_k$  

$\frac{20}{6}=b_k$  

$\frac{10}{3}=b_k$  

$b_k=\frac{10}{3}$  

Otrzymujemy:

$k:y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:

$a_{\text{AC}}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{10+2}{-5-1}=\frac{12}{-6}=-2$  

Prosta l jest prostopadła do prostej AC, więc:

$a_l\cdot a_{\text{AC}}=-1$  

$a_l\cdot \left(-2\right)=-1\mid :\left(-2\right)$  

$a_l=\frac{1}{2}$  

Wówczas równanie prostej l przyjmuje postać:

$l:y=\frac{1}{2}x+b_l$  

Obliczamy współrzędne środka odcinka AC:

$x_{S_{\text{AC}}}=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$y_{S_{\text{AC}}}=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem:

$S_{\text{AC}}=\left(-2,4\right)$  

Podstawiamy współrzędne punktu S_AC(-2, 4) do równania prostej l i wyznaczamy b_l:

$4=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+b_l$  

$4=-1+b_l$  

$5=b_l$  

$b_l=5$  

Otrzymujemy:

$l:y=\frac{1}{2}x+5$  

---

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia prostych k i l, czyli współrzędne środka okręgu S.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\mid \cdot 3\\ y=\frac{1}{2}x+5\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y=-x+10\\ 2y=x+10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=10-3y\\ 2y=x+10\end{array}$  

Podstawiamy x=10-3y do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=10-3y\\ 2y=10-3y+10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=10-3y\\ 5y=20\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=10-3y\\ y=4\end{array}$  

Podstawiamy y=4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=10-3\cdot 4\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=10-12\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}$  

Zatem środek okręgu ma współrzędne:

$S\left(-2,4\right)$  

---

Długość promienia okręgu jest odległością środka okręgu od jednego z wierzchołków trójkąta. 

$R=\left|BS\right|=\sqrt{{\left(x_S-x_B\right)}^2+{\left(y_S-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2-4\right)}^2+{\left(4-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$