Z warunku istnienia trójkąta wynika, że suma długości dwóch krótszych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku, czyli:

$3x-2+4x+2>5x+1$  

$7x>5x+1$  

$2x>1\mid :2$  

$x>\frac{1}{2}$  

---

Ponadto długości boków trójkąta muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

$\{\begin{array}{l}3x-2>0\\ 4x+2>0\\ 5x+1>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x>2\mid :3\\ 4x>-2\mid :4\\ 5x>-1\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>\frac{2}{3}\\ x>-\frac{1}{2}\\ x>-\frac{1}{5}\end{array}$  

Zatem:

$x>\frac{2}{3}$  

---

Po uwzględnieniu warunku istnienia trójkąta, otrzymujemy:

$x>\frac{1}{2}\text{i}x>\frac{2}{3}$  

$x>\frac{2}{3}$  

$x\in \left(\frac{2}{3},+\infty \right)$  

---

Obliczamy, dla jakich wartości x trójkąt jest prostokątny, czyli długości boków trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa:

${\left(3x-2\right)}^2+{\left(4x+2\right)}^2={\left(5x+1\right)}^2$  

$9x^2-12x+4+16x^2+16x+4=25x^2+10x+1$  

$25x^2+4x+8=25x^2+10x+1$  

$7=6x\mid :6$  

$x=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}\in \left(\frac{2}{3},+\infty \right)$  

---

$\text{Odp.}x=1\frac{1}{6}.$