Oblicz pole trójkąta ABC, jeśli...- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków a, b i sinusa kąta α zawartego między nimi:

$P = \frac{1}{2} a b sin α$

Rysunek poglądowy:

$a) ∣ A B ∣ = 10, ∣ A C ∣ = 8, ∣ ∢ C A B ∣ = 60^{\circ}$

$P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin (∢ C A B) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot sin 60^{\circ} = 40 \cdot \frac{3}{2} = 203$

$b) ∣ A B ∣ = 4, ∣ B C ∣ = 7, ∣ ∢ A B C ∣ = 150^{\circ}$

$P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣ \cdot sin (∢ A B C) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot sin 150^{\circ} = 14 \cdot sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 14 \cdot sin 30^{\circ} = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$

$c) ∣ A C ∣ = 9, ∣ B C ∣ = 12, ∣ ∢ A C B ∣ = 135^{\circ}$

$P = \frac{1}{2} \cdot ∣ A C ∣ \cdot ∣ B C ∣ \cdot sin (∢ A C B) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot sin 135^{\circ} = 54 \cdot sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = 54 \cdot sin 45^{\circ} = 54 \cdot \frac{2}{2} = 272$