$\text{Dla}\alpha \in ⟨0^{\circ },{180}^{\circ }⟩:$   ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1-\text{jedynka trygonometryczna}$   $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\text{gdzie}\alpha \ne {90}^{\circ }$   $\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha },\text{gdzie}\alpha \ne 0^{\circ },\alpha \ne {180}^{\circ }$   $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha =1,\text{gdzie}\alpha \ne 0^{\circ },\alpha \ne {90}^{\circ },\alpha \ne {180}^{\circ }$

---

Kąt α jest ostry, więc:

$\sin \alpha >0,\cos \alpha >0,\text{tg}\alpha >0,\text{ctg}\alpha >0$  

---

$\text{a)}\sin \alpha =\frac{2}{3}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{4}{9}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$  

Obliczamy tgα i ctgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$  

---

$\text{b)}\sin \alpha =0,2=\frac{1}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{1}{25}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{24}{25}$  

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$  

Obliczamy tgα i ctgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{5}{1}=2\sqrt{6}$  

---

$\text{c)}\cos \alpha =\frac{2}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{4}{25}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{21}{25}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{\sqrt{21}}{5}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$  

Obliczamy tgα i ctgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{5}\cdot \frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}\cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$  

---

$\text{d)}\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{2}{9}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{7}{9}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}$  

Obliczamy tgα i ctgα:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$  

---

$\text{e)}\text{tg}\alpha =\frac{3}{5}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{5}\mid \cdot cso\alpha$  

$\sin \alpha =\frac{3}{5}\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\left(\frac{3}{5}\cos \alpha \right)+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{25}{\cos }^2\alpha +\frac{25}{25}{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{34}{25}{\cos }^2\alpha =1\mid \cdot \frac{25}{34}$   

${\cos }^2\alpha =\frac{25}{34}=\left(25\cdot 34\right)\left({34}^2\right)$  

$\cos \alpha =\frac{5\sqrt{34}}{34}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{5\sqrt{34}}{34}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{5\sqrt{34}}{34}$  

Obliczamy sinα i ctgα:

$\sin \alpha =\frac{3}{5}\cos \alpha =\frac{3}{5}\cdot \frac{5\sqrt{34}}{34}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}$  

---

$\text{f)}\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2}\mid \cdot \cos \alpha$  

  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{5}{4}{\cos }^2\alpha +\frac{4}{4}{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{4}{\cos }^2\alpha =1\mid \cdot \frac{4}{9}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{4}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{3}>0\text{lub}\cos \alpha =-\frac{2}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc cosα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$  

Obliczamy sinα i ctgα:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{5}}{3}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

---

$\text{g)}\text{ctg}\alpha =2\sqrt{2}$  

$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\sqrt{2}\mid \cdot \sin \alpha$  

$\cos \alpha =2\sqrt{2}\sin \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(2\sqrt{2}\sin \alpha \right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +8{\sin }^2\alpha =1$  

$9{\sin }^2\alpha =1\mid :9$  

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{9}$  

$\sin \alpha =\frac{1}{3}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{1}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{1}{3}$  

Obliczamy cosα i tgα:

$\cos \alpha =2\sqrt{2}\cdot \sin \alpha =2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{ctg}\alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$  

---

$\text{h)}\text{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{2}}{2}\mid \cdot \sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}^2=1$  

$\frac{2}{2}{\sin }^2\alpha +\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha =1$  

$\frac{3}{2}{\sin }^2\alpha =1\mid \cdot \frac{2}{3}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}>0\text{lub}\sin \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

Kąt α jest ostry, więc sinα>0. Wobec tego rozwiązanie ujemne odrzucamy. Otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$  

Obliczamy cosα i tgα:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{ctg}\alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$