$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{3x+6}{2-x}$  

Określamy dziedzinę funkcji:

$2-x\ne 0$  

$x\ne 2$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{2\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{3x+6}{2-x}=\frac{3x+6}{-x+2}=\frac{-3x-6}{x-2}=\frac{-3\left(x-2+2\right)-6}{x-2}=\frac{-3\left(x-2\right)-6-6}{x-2}=\frac{-3\left(x-2\right)-12}{x-2}=-3-\frac{12}{x-2}=\frac{-12}{x-2}-3$  

Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne środka symetrii wykresu funkcji f - jest to punkt przecięcia asymptot.

$S\left(2,-3\right)$  

Szukana funkcja g ma ten sam środek symetrii, więc jej wzór możemy zapisać w postaci:

$g\left(x\right)=\frac{a}{x-2}-3$  

Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji g i wyznaczamy a:

$g\left(0\right)=-2$  

$\frac{a}{0-2}-3=-2$  

$\frac{a}{-2}=1\mid \cdot \left(-2\right)$  

$a=-2$  

Otrzymujemy:

$g\left(x\right)=\frac{-2}{x-2}-3$  

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając hiperbolę  $y=\frac{-2}{x}$  o wektor [2, -3].

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{4-2x}{x+3}$  

Określamy dziedzinę funkcji:

$x+3\ne 0$  

$x\ne -3$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-3\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{4-2x}{x+3}=\frac{-2x+4}{x+3}=\frac{-2\left(x+3-3\right)+4}{x+3}=\frac{-2\left(x+3\right)+6+4}{x+3}=\frac{-2\left(x+3\right)+10}{x+3}=-2+\frac{10}{x+3}=\frac{10}{x+3}-2$  

Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne środka symetrii wykresu funkcji f - jest to punkt przecięcia asymptot.

$S\left(-3,-2\right)$  

Szukana funkcja g ma ten sam środek symetrii, więc jej wzór możemy zapisać w postaci:

$g\left(x\right)=\frac{a}{x+3}-2$  

Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji g i wyznaczamy a:

$g\left(0\right)=-4$  

$\frac{a}{0+3}-2=-4$  

$\frac{a}{3}=-2\mid \cdot 3$  

$a=-6$  

Otrzymujemy:

$g\left(x\right)=\frac{-6}{x+3}-2$  

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając hiperbolę  $y=-\frac{6}{x}$  o wektor [-3, -2].

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{5x-4}{x-1}$  

Określamy dziedzinę funkcji:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{5x-4}{x-1}=\frac{5\left(x-1+1\right)-4}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)+5-4}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)+1}{x-1}=5+\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-1}+5$  

Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne środka symetrii wykresu funkcji f - jest to punkt przecięcia asymptot.

$S\left(1,5\right)$  

Szukana funkcja g ma ten sam środek symetrii, więc jej wzór możemy zapisać w postaci:

$g\left(x\right)=\frac{a}{x-1}+5$  

Podstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji g i wyznaczamy a:

$g\left(0\right)=1$  

$\frac{a}{0-1}+5=1$  

$\frac{a}{-1}=-4\mid \cdot \left(-1\right)$  

$a=4$  

Otrzymujemy:

$g\left(x\right)=\frac{4}{x-1}+5$  

Wykres funkcji g otrzymamy, przesuwając hiperbolę  $y=\frac{a}{x}$  o wektor [1, 5].