$\text{a)}x\left|x-3\right|<x+x^2$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-3\right|=\{\begin{array}{l}x-3\text{dla}x\ge 3\\ -\left(x-3\right)\text{dla}x<3\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,3\right)$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$x\left|x-3\right|<x+x^2$  

$-x\left(x-3\right)<x+x^2$  

$-x^2+3x<x+x^2$  

$-2x^2+2x<0\mid :\left(-2\right)$  

$x^2-x>0$  

$x\left(x-1\right)>0$  

Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)\text{i}x\in \left(-\infty ,3\right)$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,3\right)$  

• $x\in ⟨3,+\infty )$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$x\left|x-3\right|<x+x^2$  

$x\left(x-3\right)<x+x^2$  

$x^2-3x<x+x^2$  

$-3x<x$  

$-4x<0\mid :\left(-4\right)$  

$x>0$  

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in \left(0,+\infty \right)\text{i}x\in ⟨3,+\infty )$  

$x\in ⟨3,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,3\right)\text{lub}x\in ⟨3,+\infty )$  

$\underline{x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)}$  

---

$\text{b)}x\left|x+4\right|>2x-x^2$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+4\right|=\{\begin{array}{l}x+4\text{dla}x\ge -4\\ -\left(x+4\right)\text{dla}x<-4\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$x\left|x+4\right|>2x-x^2$  

$-x\left(x+4\right)>2x-x^2$  

$-x^2-4x>2x-x^2$  

$-4x>2x$  

$-6x>0\mid :(-6($  

$x<0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\text{i}x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

• `x in <  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$x\left|x+4\right|>2x-x^2$  

$x\left(x+4\right)>2x-x^2$  

$x^2+4x>2x-x^2$  

$2x^2+2x>0\mid :2$  

$x^2+x>0$  

$x\left(x+1\right)>0$  

Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

`x in (-oo, -1)uu(0,+oo)\ \ \ "i"\ \ \ x in <  

`x in <  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

`x in (-oo, -4)\ \ \ "lub"\ \ \ x in <  

$\underline{x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,+\infty \right)}$

 

---

$\text{c)}2x\left|6-x\right|\ge 3x-2x^2$  

$2x\left|x-6\right|\ge 3x-2x^2$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-6\right|=\{\begin{array}{l}x-6\text{dla}x\ge 6\\ -\left(x-6\right)\text{dla}x<6\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,6\right)$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$2x\left|x-6\right|\ge 3x-2x^2$  

$-2x\left(x-6\right)\ge 3x-2x^2$  

$-2x^2+12x\ge 3x-2x^2$  

$12x\ge 3x$  

$9x\ge 0\mid :9$  

$x\ge 0$  

$x\in ⟨0,+\infty )$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in ⟨0,+\infty )\text{i}x\in \left(-\infty ,6\right)$  

$x\in ⟨0,6)$  

• $x\in ⟨6,+\infty )$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$2x\left|x-6\right|\ge 3x-2x^2$  

$2x\left(x-6\right)\ge 3x-2x^2$  

$2x^2-12x\ge 3x-2x^2$  

$4x^2-15x\ge 0\mid :4$  

$x^2-\frac{15}{4}x\ge 0$  

$x\left(x-\frac{15}{4}\right)\ge 0$  

Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨\frac{15}{4},+\infty )$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨\frac{15}{4},+\infty )\text{i}x\in ⟨6,+\infty )$  

$x\in ⟨6,+\infty )$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in ⟨0,6)\text{lub}x\in ⟨6,+\infty )$  

$\underline{x\in ⟨0,+\infty )}$  

---

$\text{d)}3x\left|2-x\right|\le 2x-x^2$  

$3x\left|x-2\right|\le 2x-x^2$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-2\right|=\{\begin{array}{l}x-2\text{dla}x\ge 2\\ -\left(x-2\right)\text{dla}x<2\end{array}$  

Rozważymy więc dwa przypadki:

• $x\in \left(-\infty ,2\right)$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$3x\left|x-2\right|\le 2x-x^2$  

$-3x\left(x-2\right)\le 2x-x^2$  

$-3x^2+6x\le 2x-x^2$  

$-2x^2+4x\le 0\mid :\left(-2\right)$  

$x^2-2x\ge 0$  

$x\left(x-2\right)\ge 0$  

Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨2,+\infty )\text{i}x\in \left(-\infty ,2\right)$  

$x\in (-\infty ,0⟩$  

• $x\in ⟨2,+\infty )$  

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$3x\left|x-2\right|\le 2x-x^2$  

$3x\left(x-2\right)\le 2x-x^2$  

$3x^2-6x\le 2x-x^2$  

$4x^2-8x\le 0\mid L4$  

$x\left(x-2\right)\le 0$  

Szkicujemy przybliżony wykres trójmianu po lewej stronie nierówności.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨0,2⟩$  

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozwiązujemy nierówność, otrzymujemy:

$x\in ⟨0,2⟩\text{i}x\in ⟨2,+\infty )$  

$x=2$  

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

$x\in (-\infty ,0⟩\text{lub}x=2$  

$\underline{x\in (-\infty ,0⟩\cup \left\{2\right\}}$